Phương trình mặt phẳng có rất nhiều nội dung cũng như dạng toán khác nhau đòi hỏi bạn cần nắm bắt thật tốt những lý thuyết cũng như hiểu rõ từng dạng để làm tốt dạng bài này
Hãy theo dõi nội dung dưới đây để chúng tôi có thể chia sẻ cho bạn những nội dung hữu ích nhất nhé !
Tham khảo bài viết khác:
Vecto pháp tuyến là gì ?
– Vectơ n ≠ 0 là vectơ pháp tuyến [VTPT] nếu giá của vecto n vuông góc với mặt phẳng [α]
– Chú ý:
+] Nếu n→ là một VTPT của mặt phẳng [α] thì kn→ cũng là một VTPT của mặt phẳng [α].
Bạn đang xem: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng
+] Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó.
+] Nếu u→, v→ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng [α] thì n→ = là một VTPT của [α]
Phương trình của mặt phẳng
1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
– Trong không gian Oxy , mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình:
Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 ≠ 0
– Nếu mặt phẳng [α] có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một VTPT là n [A; B; C].
– Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M0[ x0; y0; z0 ] và nhận vectơ n [A; B; C] khác vecto 0 là VTPT là:
A[x – x0] + B[y – y0] + C[z – z0] = 0
2. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Mặt phẳng đi qua ba điểm M[a ; 0 ; 0], N[ 0 ; b ; 0], C[0 ; 0 ; c] ở đó abc ≠ 0 có phương trình :
Phương trình này còn được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
3. Các trường hợp đặc biệt của phương trình mặt phẳng
Xét phương trình mặt phẳng [α]: Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 ≠ 0
– Nếu D = 0 thì mặt phẳng [α] đi qua gốc tọa độ O.
– Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 thì mặt phẳng [α] song song hoặc chứa trục Ox.
– Nếu A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 thì mặt phẳng [α] song song hoặc chứa trục Oy.
– Nếu A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 thì mặt phẳng [α] song song hoặc chứa trục Oz.
– Nếu A = B = 0, C ≠ 0 thì mặt phẳng [α] song song hoặc trùng với [Oxy].
– Nếu A = C = 0, B ≠ 0 thì mặt phẳng [α] song song hoặc trùng với [Oxz].
– Nếu B = C = 0, A ≠ 0 thì mặt phẳng [α] song song hoặc trùng với [Oyz].
Một số dạng toán viết phương trình mặt phẳng thường gặp
1. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
– Phương pháp giải:
Giả sử [P] là mặt phẳng trung trực của đoanh AB. Ta xác định yếu tố điểm mà [P] đi qua chính là trung điểm AB. Còn vecto pháp tuyến chính là vecto AB.
2. Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm cho trước
– Phương pháp giải:
Giả sử mặt phẳng [P] đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C. Chúng ta có tới tận 3 yếu tố điểm là điểm A, điểm B, điểm C. Thỏa mái để lựa chọn nhưng ta chỉ chọn 1 điểm thôi nhé. Để tìm yếu tố véc tơ pháp tuyến chúng ta lấy tích có hướng của véc tơ AB và véc tơ AC.
Xem thêm: " Chảy Máu Chất Xám Tiếng Anh Là Gì Mới Nhất 2022, Chảy Máu Chất Xám
3. Phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm vuông góc với 2 mặt phẳng cho trước
– Phương pháp giải:
Giả sử ta cần viết phương trình mặt [R] đi qua điểm A và vuông góc với [P], [Q]. Yếu tố điểm đã có là điểm A. Yếu tố véc tơ pháp tuyến chính là tích có hướng hai véc tơ pháp tuyến của [P] và [Q].
Cám ơn bạn đã theo dõi những thông tin nội dung bài viết của chúng tôi, hy vọng sau bài viết bạn sẽ hiểu hơn về phương trình mặt phẳng trong không gian nhé !
>> //tuyensinh247.com/ 1 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Bài 1:Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A [2;-5;1] ; B[3;4;-2] ;C[0;0;-1] ;D[1;1;0] [P]: 2x-y+3z-1=0 ; [Q]:x-3y+2z+1=0 [R]:x+y-z-3=0 d1: 1 3 61 2 3x y z ; d2 123xtytzt d3: 2213xtytzt 42:132xtd y tzt Tìm phương trình mặt phẳng [] sau: 1/ Đi qua 3 điểm A;B;C 2/ Đi qua 2 điểm A& B và song song trục Oy 3/ Đi qua 2 điểm A& B và song song d1 4/ Đi qua 2 điểm A& B và vuông góc mp[P] 5 / Đi qua 2 điểm A& B và song song CD 6/ Đi qua điểm A và song song mp[Q] 7/ Đi qua điểm A và vuông góc d2 8/ Qua điểm B song song trục oy và vuông góc mp[Q] 9/ Đi qua điểm A và song song 12&dd[chéo nhau] 10/ Đi qua điểm A và vuông góc mp[P]& [Q] 11/ Đi qua điểm A và chứa 2d 12/ Chứa 1&dvuông góc mp[P] 13/ Chứa 1&d4dcắt nhau tại M 14/ Chứa 1&d3d song song nhau 15/ Đi qua điểm A chứa giao tuyến của 2 mp [P] &[Q] 16/ Chứa giao tuyến của 2 mp [P] &[Q] và vuông góc [R] Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A[ 3;-2;-2], B[3;2;0], C[0;2;1], D[ -1;1;2] a] Viết phương trình mặt phẳng [ABC]. b] Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC. c] Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa AB và song song với CD. d] Viết phương trình mặt phẳng [Q] chứa CD và vuông góc với mp[ABC]. Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau : a] Mặt phẳng [P] đi qua A[1;0;-3] và có vtpt [1; 3;5]n b] Mặt phẳng [P] đi qua B[3,-1,4] và song song với mặt phẳng x-2y+5z-1=0 c] Mặt phẳng [P] đi qua C[1,-1,0] và song song với mặt phẳng yOz d/. Mặt phẳng [P] đi qua D[5,-1,-3]và vuông góc với đthẳng d: 1 3 12 1 3x y z Bài 4:Viết phương trình mặt phẳng [P] trong các trường hợp sau : a] [P] đi qua M[2 ;3 ;2] và song song với giá hai véctơ [1;1; 2]; [ 3;1;2]uv b] [P] đi qua hai điểm M[1 ;-2 ;1], N[-1 ;1 ;3] và song song với trục Oy c] [P] đi qua điểm M[1 ;-1 ;2] và chứa đường thẳng 2 1 3[ ]:2 1 1x y zd d] [P] đi qua M[2 ;-1 ;1], N[-2 ;3 ;-1] và vuông góc với mp [Q]: 4x - y 2z 1 = 0 e] [P] đi qua các điểm là hình chiếu vuông góc của M[4;-1;2] trên các mp tọa độ. f] [P] đi qua các điểm là hình chiếu vuông góc của M[4;-1 ;2] trên các trục tọa độ >> //tuyensinh247.com/ 2 Bài 5: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng [P]:2x – y+2z - 4=0 và[Q]:x - 2y- 2z+ 4=0 a] Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng [P] và [Q] vuông góc nhau. b] Tìm tọa độ giao điểm A,B,C của mặt phẳng [P] với các trục tọa độ Ox,Oy,Oz. c] Tính khoảng cách tử gốc tọa độ O đến mặt phẳng [P] d] Viết phương trình mặt cầu [S] có tâm là gốc tọa độ O và tiếp xúc với mp[Q] Bài 6:Trong không gian Oxyz, cho điểm M[2;1;-1] và mặt phẳng [P] : 2x + 2y - z + 2 = 0 a] Tính độ dài đoạn vuông góc kẽ từ M đến mặt phẳng [P]. b] Viết phương trình đường thẳng [d] qua M vuông góc với mặt phẳng [P]. Bài 7: Viết PT mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A[2;1;4]; B[-1;-3;5]. Bài 8: Cho tứ diện ABCD với A[2;3;1]; B[4;1;-2]; C[6;3;7]; D[-5;-4;8]. a] Viết PT mặt phẳng [ABC]. b] Tính độ dài đường cao tứ diện hạ từ D. Bài 9: Viết phương trình mặt phẳng: a] Đi qua điểm A[1;0;2] và song song với mp[Oxy]. b] Đi qua điểm M[2;-4;3] và vuông góc với trục Ox. c] Đi qua điểm I[-1;2;4] và song song với mp: 2x-3y+5z-1=0 Bài 10: Viết PT mặt phẳng đi qua 3 hình chiếu của điểm M[1;2;-3] trên các trục toạ độ. Bài 11: Viết phương trình của mp[P] chứa gốc toạ độ và vuông góc với cả hai mặt phẳng có phương trình: x-y+z-7=0 và 3x+2y-12z+5=0 Bài 12: Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A[[1;0;-2]; B[-1;-1;3] và mp[P]: 2x-y+2z+1=0. Viết phương trình mp[Q] đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mp[P]. Bài 13: Trong không gian Oxyz cho các điểm A[-1;2;0]; B[-3;0;2]; C[1;2;3]; D[0;3;-2]. Viết phương trình mặt phẳng chứa AD và song song với BC. Bài 14: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: 212xtytzt và điểm A[1;-2;2]. Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa điểm A và đường thẳng d. Bài 15: Cho d là giao tuyến của hai mặt phẳng [ ]:2 4 0x y z và [ ']: 3 1 0x y z . Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M[1;0;1] và chứa đường thẳng d. Bài 16: Viết phương trình mặt phẳng chứa Oy và đi qua điểm A[-1;3;-2] Bài 17: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng 122:11xtd y tz và 21:13xd y tzt. Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa d1 và song song với d2. Bài 18: Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng: []: x-2y+z-4=0 ; [ ']: x+2y-2z+4=0. a] Chứng tỏ hai mặt phẳng[ ],[ '] cắt nhau theo một giao tuyến d1. b] Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và song song với đường thẳng d2: 1212xtytzt Bài 19: Trong không gian cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình x-2y-z-2=0 và x+2y-4=0. Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa d và vuông góc với mp[Q]: 2x-y+2z-3=0. >> //tuyensinh247.com/ 3 Bài 20: Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng [ ]:2 1 0xy và [ ']: 1 0z. a] Chứng tỏ 2 mặt phẳng [ ];[ '] cắt nhau theo một giao tuyến d. b] Viết phương trình mp[P] chứa d và cách điểm I[-1;2;3] một khoảng bằng 3.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc hoặc liên quan đến tam giác, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc hoặc liên quan đến tam giác: Phương pháp giải. Giải bài toán viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc hoặc liên quan đến tam giác thường phải sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng và phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn dưới đây: Giả sử [a]: A + B + C + D = 0 và [8]: A’c + B’g + Cc + D = 0 có các véctơ pháp tuyến tương ứng là ma = [A; B; C] và I = [A’; B’; B]. Khi đó, góc C giữa hai mặt phẳng [a] và [3]. Phương trình mặt phẳng [P] đi qua ba điểm A[a; 0; 0], B[0; b; 0] và C[0; 0; c] [với abc + 0]. Ví dụ 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng [a]: 2x – y + 3z – 5 = 0 và A[3; -2; 1]. Viết phương trình mặt phẳng [P] qua A và song song với [a]. [P] || [a] = [2; -1; 3] là véctơ pháp tuyến của [P]. Suy ra phương trình của [P] là 2[x – 3] – 1[y + 2] + 3[z – 1] = 1 # 2x – y + 3x – 11 = 0]. Ví dụ 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A[3; 1; -1], B[2; -1; 4] và [a]: z – 2y + 3z – 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng [8] qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng [a]. Vậy phương trình của [3]: 1[2 – 3] + 2[x – 1] + 1[x + 1]= 0 + 2 + 2y + x – 4 = 0. Ví dụ 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [a] chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng [P] : 45c + y + 2z = 0 một góc bằng 60°. Véctơ pháp tuyến của [P] là mp = [V5; 1; 2], véctơ đơn vị của Ox là i = [1; 0; 0]. Giả sử ma = [a; b; c], a2 + b2 + 4c2 là véctơ pháp tuyến của [a]. Vậy phương trình của [a]: 3y + z = 0. Chọn b = 1, c = -3 = m = [0; 1; -3]. Suy ra phương trình của [a]: 4 – 32 = 0. Ví dụ 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho [P]: 50 – 2y + 5x – 1 = 0 và [Q] : 2 – 4 – 8x + 12 = 0. Lập phương trình mặt phẳng [a] đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng [P] và hợp với mặt phẳng [Q] một góc 45°. [P] có véctơ pháp tuyến là m = [5; -2; 5]. [Q] có véctơ pháp tuyến là mo = [1; -4; -8]. Gọi a = [a; b; c], a2 + b^ + c^2 là véctơ phép tuyến của [a]. [a] I [P] = 0 + 5a – 2b + 5c, x + 20y + 72 = 0. Ví dụ 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [a] đi qua hai điểm A[3; 0; 0], C[0; 0; 1] và cắt trục Ox tại điểm B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 5. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [a] đi qua điểm M[2; -1; 4] và Song song với mặt phẳng [P]: 3x – y + 2z = 0. [a] || [P] = P = [3; -1; 2] là véctơ pháp tuyến của [a]. [a] đi qua M[2; -1; 4]. Suy ra [a] : 3[x – 2] – 1[y + 1] + 2[2 – 4] = 0 + 3x – y + 2z – 15 = 0. Bài 48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [a] đi qua hai điểm A[1; 1; -1], B[0; 2; 1] và vuông góc với mặt phẳng [8]: -x + x + 10 = 0. Ta có véctơ pháp tuyến của [8] là 8 = [-1; 0; 1] và AB = [4; 1; 2]. a = AB, n3 = [1; –6; 1]. [a] đi qua A[1; 1; -1] và nhận ra = [1; -6; 1] là véctơ pháp tuyến. Suy ra phương trình của [a]: 1[x – 1] – 6[y – 1] + 1[2 + 1] = 1 # x – 6y + z + 6 = 0. Bài 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua giao tuyến d của hai mặt phẳng [a]: 20 – 3 – 1 = 0, [B]: 40 – 3x + z – 3 = 0 và tạo với mặt phẳng [Q]: 0 – 2x + 2z + 1 = 0. Suy ra [P]: 16[z – 0] + 5[x + 1]- 13[x – 1] = 0 + 16x + 5g – 13z +5 = 0. Bài 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M[-1; -1; 3], N[3; 1; 5] và mặt phẳng [Q]. Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua M, N và tạo với [O] một góc nhỏ nhất. Vậy [P] : 0[ + 1] + 1[x + 1]- 1[z – 3] = 0.
Bài 51. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] biết nó đi qua điểm G[-1; 2; -3] và cắt các trục Ox, Oy, 02 lần lượt tại các điểm A, B,C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Do A, B,C lần lượt thuộc Ox, Oy, Oz nên A[a; 0; 0], B[0; b; 0], C[0; 0; c]. Khi đó mặt phẳng [P]: C = 1 [*]. a b c Do G là trọng tâm tam giác ABC. Vậy phương trình [P]: x = 1.