1. Khái niệm và tính chất
Định nghĩa
Cho hàm số \[f[x]\] liên tục trên đoạn \[[a;b]\]. Giả sử \[F[x] \] là một nguyên hàm của hàm số\[f[x]\]trên đoạn \[[a;b]\], hiệu số \[F[b] - F[a]\] được gọi là tích phân từ \[a\] đến \[b\] [hay tích phân xác định trên đoạn \[[a;b]\] của hàm số \[f[x]\].
Kí hiệu là : \[\int_a^b f [x]dx\]
Vậy ta có :\[\int_a^b f [x]dx = F[b] - F[a] = F[x]|_a^b\]
Chú ý : Trong trường hợp a = b, ta định nghĩa: \[\int_a^a f [x]dx = 0\]
Trường hợp a>b, ta định nghĩa: \[\int_a^b f [x]dx = - \int_b^a f [x]dx\]
Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là :
\[\int_a^b f [x]dx = \int_a^b f [t]dt = \int_a^b f [u]du = ...\] [vì đều bằng \[F[b] - F[a]\]]
Tính chất của tích phân
\[\int_a^b k f[x]dx = k\int_a^b f [x]dx\] [ với \[k\] là hằng số]
\[\int_a^b {\left[ {f\left[ x \right] \pm g\left[ x \right]} \right]} d{\rm{x}} = \int_a^b {f\left[ x \right]} d{\rm{x}} \pm \int_a^b {g\left[ x \right]} d{\rm{x}}\]
\[\int_a^b f [x]dx = \int_a^c f [x]]dx + \int_c^b f [x]dx\][với \[a