Đề bài - bài 15 trang 133 sgk toán 9 tập 2

Đề bài

Hai phương trình \({x^2} + ax + 1 = 0\) và \({x^2} - {\rm{ }}x{\rm{ }} - {\rm{ }}a{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)có một nghiệm thực chung khi \(a\) bằng:

(A) 0 ; (B) 1 ; (C) 2 ; (D) 3

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Lời giải chi tiết

Giả sử \(x_0\)là nghiệm chung của hai phương trình, thì\(x_0\)phải là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \matrix{x_0^2 + a{x_0} + 1 = 0 \, \, (1) \hfill \cr x_0^2 - {x_0} - a = 0 \, \, (2) \hfill \cr} \right.\)

Lấy (1) trừ cho (2), ta được:

\(ax_0+x_0+1+a=0\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {a + 1} \right){x_0} + 1 + a = 0\\
\Leftrightarrow \left( {a + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a + 1 = 0\\
{x_0} + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = - 1\\
{x_0} = - 1
\end{array} \right..
\end{array}\)

+) Thay \(a = -1\) vào (2), ta được: \(x_0^2 - {x_0} + 1 = 0\)

Ta có \( \Delta=-3<0\) nên phương trình vô nghiệm.

Vậy loại trường hợp \(a = -1.\)

+) Thay \(x_0= -1\) vào (2), ta có \(1+1-a=0 \Leftrightarrow a=2.\)

Vậy hai phương trình đã cho có nghiệm chung \(x_0= -1\) khi \(a=2.\)

Chọn đáp án C.