Đề bài - bài 2.28 trang 62 sbt hình học 12

Đề bài

Cho hai đường thẳng \(\Delta \)và \(\Delta '\)chéo nhau nhận AA làm đoạn vuông góc chung, trong đó A thuộc \(\Delta \)và A thuộc \(\Delta '\). Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với \(\Delta '\)và d là hình chiếu vuông góc của \(\Delta \)trên mặt phẳng (P). Đặt AA = a, góc nhọn giữa \(\Delta \)và d là \(\alpha \). Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt \(\Delta \)và\(\Delta '\) lần lượt tại M và M. Gọi M1là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).

a) Chứng minh 5 điểm A, A , M, M , M1cùng nằm trên mặt cầu (S). xác định tâm O của (S). Tính bán kính của (S) theo a, \(\alpha \)và khoảng cách x giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

b) Khi x thay đổi, tâm O của mặt cầu (S) di động trên đường nào? Chứng minh rằng khi (Q) thay đổi mặt cầu (S) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.

Lời giải chi tiết

a) Vì mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với \(\displaystyle \Delta '\)nên AA thuộc (P). Vì M thuộc \(\displaystyle \Delta \)mà d là hình chiếu vuông góc của \(\displaystyle \Delta \) trên (P) nên M1thuộc d.

Vì \(\displaystyle MA \bot {\rm{AA}}' => {M_1}A \bot AA'\)

Mặt khác \(\displaystyle {M_1}A \bot M'A'\)nên ta suy ra \(\displaystyle {M_1}A \bot ({\rm{AA}}'M')\). Do đó \(\displaystyle {M_1}A \bot M'A\) và điểm A thuộc mặt cầu đường kính MM1.

Ta có \(\displaystyle M'A' \bot (P)\)nên \(\displaystyle M'A' \bot A'{M_1}\), ta suy ra điểm A cũng thuộc mặt cầu đường kính MM1

Ta có (Q) // (P) nên ta suy ra \(\displaystyle M{M_1} \bot (Q)\)mà MM thuộc (Q), do đó \(\displaystyle {M_1}M \bot MM'\)

Như vậy 5 điểm A, A , M, M, M1cùng thuộc mặt cầu (S) có đường kính MM1. Tâm O của mặt cầu (S) là trung điểm của đoạn MM1.

Ta có \(\displaystyle M'{M_1}^2 = M'A{'^2} + A'{M_1}^2 \) \(\displaystyle = M'A{'^2} + A'{A^2} + A{M_1}^2 \) \(\displaystyle = {x^2} + {a^2} + {x^2}{\cot ^2}\alpha \) vì MM1= x và \(\displaystyle \cot \alpha = {{A{M_1}} \over {{M_1}M}} = {{A{M_1}} \over x}\)

Bán kính r của mặt cầu (S) bằng \(\displaystyle {{M'{M_1}} \over 2}\) nên \(\displaystyle r = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {x^2}(1 + {{\cot }^2}\alpha )} \)

b) Hình tứ giác AMMM1là hình chữ nhật nên tâm O cũng là trung điểm của AM.

Do đó khi x thay đổi thì mặt phẳng (Q) thay đổi và điểm O luôn luôn thuộc đường thẳng d đi qua trung điểm I của đoạn AA và song song với đường thẳng \(\displaystyle \Delta \).

Vì mặt cầu tâm O luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, Anên nó có tâm O di động trên đường thẳng d.

Do đó mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn tâm I cố định có đường kính AA cố định và nằm trong mặt phẳng cố định vuông góc với đường thẳng d.