Đề bài
Cho hai đường thẳng \[\Delta \]và \[\Delta '\]chéo nhau nhận AA làm đoạn vuông góc chung, trong đó A thuộc \[\Delta \]và A thuộc \[\Delta '\]. Gọi [P] là mặt phẳng qua A vuông góc với \[\Delta '\]và d là hình chiếu vuông góc của \[\Delta \]trên mặt phẳng [P]. Đặt AA = a, góc nhọn giữa \[\Delta \]và d là \[\alpha \]. Mặt phẳng [Q] song song với mặt phẳng [P] cắt \[\Delta \]và\[\Delta '\] lần lượt tại M và M. Gọi M1là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng [P].
a] Chứng minh 5 điểm A, A , M, M , M1cùng nằm trên mặt cầu [S]. xác định tâm O của [S]. Tính bán kính của [S] theo a, \[\alpha \]và khoảng cách x giữa hai mặt phẳng [P] và [Q].
b] Khi x thay đổi, tâm O của mặt cầu [S] di động trên đường nào? Chứng minh rằng khi [Q] thay đổi mặt cầu [S] luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh các điểm A, A', M cùng nhìn đoạn thẳng \[M'{M_1}\] một góc \[90^0\].
Lời giải chi tiết
a] Vì mặt phẳng [P] qua A và vuông góc với \[\displaystyle \Delta '\]nên AA thuộc [P]. Vì M thuộc \[\displaystyle \Delta \]mà d là hình chiếu vuông góc của \[\displaystyle \Delta \] trên [P] nên M1thuộc d.
Vì \[\displaystyle MA \bot {\rm{AA}}' => {M_1}A \bot AA'\]
Mặt khác \[\displaystyle {M_1}A \bot M'A'\]nên ta suy ra \[\displaystyle {M_1}A \bot [{\rm{AA}}'M']\]. Do đó \[\displaystyle {M_1}A \bot M'A\] và điểm A thuộc mặt cầu đường kính MM1.
Ta có \[\displaystyle M'A' \bot [P]\]nên \[\displaystyle M'A' \bot A'{M_1}\], ta suy ra điểm A cũng thuộc mặt cầu đường kính MM1
Ta có [Q] // [P] nên ta suy ra \[\displaystyle M{M_1} \bot [Q]\]mà MM thuộc [Q], do đó \[\displaystyle {M_1}M \bot MM'\]
Như vậy 5 điểm A, A , M, M, M1cùng thuộc mặt cầu [S] có đường kính MM1. Tâm O của mặt cầu [S] là trung điểm của đoạn MM1.
Ta có \[\displaystyle M'{M_1}^2 = M'A{'^2} + A'{M_1}^2 \] \[\displaystyle = M'A{'^2} + A'{A^2} + A{M_1}^2 \] \[\displaystyle = {x^2} + {a^2} + {x^2}{\cot ^2}\alpha \] vì MM1= x và \[\displaystyle \cot \alpha = {{A{M_1}} \over {{M_1}M}} = {{A{M_1}} \over x}\]
Bán kính r của mặt cầu [S] bằng \[\displaystyle {{M'{M_1}} \over 2}\] nên \[\displaystyle r = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {x^2}[1 + {{\cot }^2}\alpha ]} \]
b] Hình tứ giác AMMM1là hình chữ nhật nên tâm O cũng là trung điểm của AM.
Do đó khi x thay đổi thì mặt phẳng [Q] thay đổi và điểm O luôn luôn thuộc đường thẳng d đi qua trung điểm I của đoạn AA và song song với đường thẳng \[\displaystyle \Delta \].
Vì mặt cầu tâm O luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, Anên nó có tâm O di động trên đường thẳng d.
Do đó mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn tâm I cố định có đường kính AA cố định và nằm trong mặt phẳng cố định vuông góc với đường thẳng d.