Đề bài
Tìm quỹ tích những điểm có tổng bình phương các khoảng cách đến bốn đỉnh của một tứ giác bằng \[k^2\]không đổi.
Lời giải chi tiết
Xét tứ giác \[ABCD\]. Gọi \[I, J\] lần lượ là trung điểm của \[AB, CD\] và \[G\] là trung điểm cùa \[IJ\] [h.56]. Với mỗi điểm \[M,\] ta đều có:
\[\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}\\ = 2M{I^2} + \dfrac{{A{B^2}}}{2} + 2M{J^2} + \dfrac{{C{D^2}}}{2}\\= 2\left[ {2M{G^2} + \dfrac{{I{J^2}}}{2}} \right] + \dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2}\\= 4M{G^2} + \dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}.\end{array}\]
Từ đó suy ra
\[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}\]
\[= {k^2} \Leftrightarrow 4M{G^2}\]
\[= {k^2} - \left[ {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right]\] không đổi.
Từ đó ta có:
Nếu \[{k^2} - \left[ {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right] > 0\] thì quỹ tích điểm M là đường tròn tâm G, bán kính \[r = \sqrt {\dfrac{{{k^2} - \left[ {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right]}}{4}} \].
Nếu \[{k^2} = \left[ {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right]\] thì quỹ tích điểm M là một điểm G.
Nếu \[{k^2} - \left[ {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right] < 0\] thì qỹ tích điểm M là tập rỗng.