Đề bài - câu 4.30 trang 182 sách bài tập giải tích 12 nâng cao
|
\(\eqalign{& z\bar z - 4 + 2\left( {z - \bar z} \right) = {x^2} + {y^2} - 4 + 4yi \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = l + l\sqrt 3 i\left( { > 0} \right) \cr& \Leftrightarrow 4y = \left( {{x^2} + {y^2} - 4} \right)\sqrt 3 \cr&\Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - {2 \over {\sqrt 3 }}} \right)^2} - {{16} \over 3} = 0 \cr} \) Đề bài Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho\({{z - 2} \over {z + 2}}\)có một acgumen bằng\({\pi \over 3}\) Lời giải chi tiết \({{z - 2} \over {z + 2}} = {{z\overline z - 4 + 2\left( {z - \overline z} \right)} \over {{{\left| {z + 2} \right|}^2}}}\)có một acgumen bằng\({\pi \over 3}\)khi và chỉ khi\(z\bar z - 4 + 2\left( {z - \bar z} \right) = l\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)\), l là số thực dương. Nếu viết\(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\)thì \(\eqalign{& z\bar z - 4 + 2\left( {z - \bar z} \right) = {x^2} + {y^2} - 4 + 4yi \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = l + l\sqrt 3 i\left( { > 0} \right) \cr& \Leftrightarrow 4y = \left( {{x^2} + {y^2} - 4} \right)\sqrt 3 \cr&\Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - {2 \over {\sqrt 3 }}} \right)^2} - {{16} \over 3} = 0 \cr} \) Vậy M chạy trên cung tròn có tâm biểu diễn\({2 \over {\sqrt 3 }}i\)và có bán kính bằng\({4 \over {\sqrt 3 }}\)nằm ở phía trên trục thực. Chú ý: A, A là các điểm theo thứ tự biểu diễn -2. 2 thì điều kiện\({{z - 2} \over {z + 2}}\)có một acgumen bằng\({\pi \over 3}\)có nghĩa là góc lượng giác tia đầu MA, tia cuối MA (M là điểm biểu diễn z) bằng\({\pi \over 3}\). Suy ra quỹ tích của M là cung tròn chứa góc\({\pi \over 3}\)căng trên đoạn AA (không kể A, A) (h.4.11)
|
