Đề bài - câu 53 trang 124 sách bài tập hình học 11 nâng cao

Đề bài

Cho hình lăng trụ đều ABC.ABC cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h. Điểm M thuộc đoạn AB sao cho \({{MA} \over {MB'}} = {5 \over 4}\).

a) Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BC.

b) Một mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với các đường thẳng AC và BC cắt đường thẳng CC tại C1, tính tỉ số \({{{C_1}C} \over {{C_1}C'}}\).

Lời giải chi tiết

a) Vì AC // AC nên góc giữa AC và BC bằng góc giữa AC và BC.

Gọi H là trung điểm của AC, do BA = BC nên \(\widehat {BH'C'} = {90^0}\). Vậy \(\widehat {H'C'B}\) là góc giữa hai đường thẳng AC và BC. Đặt \(\widehat {H'C'B} = \alpha \) thì \(\cos \alpha = {{H'C'} \over {BC'}} = {a \over {2\sqrt {{h^2} + {a^2}} }}\).

Vậy góc giữa AC và BC là α mà \(\cos \alpha = {a \over {2\sqrt {{h^2} + {a^2}} }}\).

b) Lấy B1thuộc BB sao cho BB = BB1, khi đó CB1// CB. Vậy mp(P) đi qua M, song song với BC và AC chính là mặt phẳng đi qua điểm M và song song với mp(ACB1).

Dễ thấy mp(ACB1) cắt hình lăng trụ đã cho theo thiết diện là AHC còn (P) cắt lăng trụ ABC.ABC theo thiết diện IJC1NQ, trong đó IQ là đường thẳng đi qua điểm M và song song với AH, còn \(IJ//HC,J{C_1}//BC',{C_1}N//A'C\) .

Ta cos \({{{C_1}C} \over {{C_1}C'}} = {{CJ} \over {BJ}} = {{HI} \over {IB}}\)

Đặt \(HI = x\). Do \({{MA} \over {MB'}} = {5 \over 4}\) nên \({{AI} \over {B'Q}} = {5 \over 4}\)

hay

\(\eqalign{ & {{{a \over 2} + x} \over {a - x}} = {5 \over 4} \cr & \Rightarrow 2{\rm{a}} + 4{\rm{x}} = 5{\rm{a}} - 5{\rm{x}} \Rightarrow x = {a \over 3} \cr} \)

Khi đó \(IB = {a \over 2} - {a \over 3} = {a \over 6}\)

Vậy \({{{C_1}C} \over {{C_1}C'}} = {{{a \over 3}} \over {{a \over 6}}} = 2\).