Giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Nội dung chính Show

Mục lục
Ví dụ cơ bảnSửa đổi
Hình thức tổng quátSửa đổi
Điều kiện có nghiệm trong trường hợp tổng quátSửa đổi
Các trường hợp đặc biệtSửa đổi
Các phương pháp giảiSửa đổi
Xem thêmSửa đổi
Tham khảoSửa đổi
Liên kết ngoàiSửa đổi
Video liên quan

"Не согласен с тезисами, высказанными В. В. Путиным в ходе обращения 21 февраля 2022 года. Не поддерживаю его инициативы, не считаю что в данном случае он вправе говорить от имени народа России." Путин - предатель.

Подпишите, пожалуйста, петицию.

Ẩn quảng cáo Hiển thị quảng cáo

Giải các hệ phương trình tuyến tính bằng Phép khử Gauss, Ma trận nghịch đảo, hay định lí Cramer. Ngoài ra bạn có thể tính số nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính bằng cách sử dụng định lý Rouche Capelli.

Nhập hệ số của hệ phương trình vào các trường đầu vào. Bỏ trống cho các ô hệ số bằng 0. Để nhập phân số dùng /: 1/3.

2x-2y+z=-3 x+3y-2z=1 3x-y-z=2

Để các ô trống để nhập các ma trận không vuông.
Bạn có thể sử dụng phân số thập phân (hữu hạn và vô hạn tuần hoàn): 1/3, 3,14, -1,3(56) hoặc 1,2e-4; hoặc các biểu thức số học: 2/3+3*(10-4), (1+x)/y^2, 2^0,5 (=2), 2^(1/3), 2^n, sin(phi) hoặc cos(3,142rad).
Dùng ↵ Enter, Space, ←↑↓→, ⌫ và Delete để di chuyển giữa các ô, Ctrl⌘ Cmd+C/Ctrl⌘ Cmd+V để sao chép ma trận.
Kéo và thả các ma trận từ kết quả, hoặc thậm chí từ / đến một ma trận đang nhập.
Để tìm hiểu thêm về ma trận sử dụng Wikipedia.

Xóa Đổi cách nhập hoặc là Chèn vào Use decimal keyboard on mobile phones Upload an image with a matrix (Note: it may not work well)

Trong toán học (cụ thể là trong đại số tuyến tính), một hệ phương trình đại số tuyến tính hay đơn giản là hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp các phương trình tuyến tính với cùng những biến số. Ví dụ:

Một phương pháp giải cho hệ trên là phương pháp thế. Trước hết, biến đổi phương trình đầu tiên để được phương trình tính ẩn $x {\displaystyle x}$ theo $y {\displaystyle y}$ :

x = 3 − 3 2 y . {\displaystyle x=3-{\frac {3}{2}}y.}

Sau đó thế hệ thức này vào phương trình dưới:

4 ( 3 − 3 2 y ) + 9 y = 15. {\displaystyle 4\left(3-{\frac {3}{2}}y\right)+9y=15.}

Ta được một phương trình bật nhất theo $y {\displaystyle y}$ . Giải ra, ta được $y = 1 {\displaystyle y=1}$ , và tính lại $x {\displaystyle x}$ được $x = 3 / 2 {\displaystyle x=3/2}$ .

Hình thức tổng quátSửa đổi

Hệ phương trình trên có thể được viết theo dạng phương trình ma trận:

Ax=b

Với A là ma trận chứa các hệ số ai, j (ai, j là phần tử ở hàng thứ i, cột thứ j của A); x là vector chứa các biến xj; b là vector chứa các hằng số bi. Tức là:

[ a 1 , 1 a 1 , 2 ⋯ a 1 , k a 2 , 1 a 2 , 2 ⋯ a 2 , k ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n , 1 a n , 2 ⋯ a n , k ] [ x 1 x 2 ⋮ x k ] = [ b 1 b 2 ⋮ b n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,k}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,k}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{k}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}}

Nếu các biến số của hệ phương trình tuyến tính nằm trong các trường đại số vô hạn (ví dụ số thực hay số phức), thì chỉ có ba trường hợp xảy ra:

hệ không có nghiệm (vô nghiệm)
hệ có duy nhất một nghiệm
hệ có vô số nghiệm

Hệ phương trình tuyến tính có thể thấy trong nhiều ứng dụng trong khoa học.

Điều kiện có nghiệm trong trường hợp tổng quátSửa đổi

Trong trường hợp tổng quát, ta xét các ma trận hệ số A và ma trận hệ số bổ sung thêm cột các số hạng ở vế phải A' .

A = [ a 1 , 1 a 1 , 2 ⋯ a 1 , k a 2 , 1 a 2 , 2 ⋯ a 2 , k ⋅ ⋅ ⋯ ⋅ a n , 1 a n , 2 ⋯ a n , k ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,k}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,k}\\\cdot &\cdot &\cdots &\cdot \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,k}\end{bmatrix}}}

;

A ′ = [ a 1 , 1 a 1 , 2 ⋯ a 1 , k b 1 a 2 , 1 a 2 , 2 ⋯ a 2 , k b 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a n , 1 a n , 2 ⋯ a n , k b n ] {\displaystyle A'={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,k}&b_{1}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,k}&b_{2}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,k}&b_{n}\end{bmatrix}}}

Khi đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi hạng của hai ma trận này bằng nhau.

r a n k ( A ) = r a n k ( A ′ ) = r {\displaystyle rank(A)=rank(A')=r}

Chi tiết hơn ta có:

Nếu $r = r a n ( A ) < r a n ( A ′ ) {\displaystyle r=ran(A) thì hệ vô nghiệm$
Nếu r a n ( A ) = r a n ( A ′ ) = r {\displaystyle ran(A)=ran(A')=r} hệ có nghiệm và
1. Nếu $r a n k ( A ) = r a n k ( A ′ ) = r = k {\displaystyle rank(A)=rank(A')=r=k}$ hệ có nghiệm duy nhất
2. Nếu $r a n k ( A ) = r a n k ( A ′ ) = r < k {\displaystyle rank(A)=rank(A')=r hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào k-r ẩn tự do.$

(không xảy ra trường hợp $r = r a n k ( A ) > r a n k ( A ′ ) {\displaystyle r=rank(A)>rank(A')}$ hay $r = r a n k ( A ) > n {\displaystyle r=rank(A)>n}$ )

Ví dụ:
- Hệ

{ x + y = 2 x − y = 0 x − 3 y = − 2 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x&+&y&=&2\\x&-&y&=&0\\x&-&3y&=&-2\\\end{matrix}}\right.}

có nghiệm duy nhất

{ x = 1 y = 1 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x&=&1\\y&=&1\\\end{matrix}}\right.}

;

- Hệ

{ x + y + 2 z = 3 y − z = 5 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x&+&y&+&2z&=&3\\\;&\;&y&-&z&=&5\\\end{matrix}}\right.}

có vô số nghiệm phụ thuộc một ẩn tự do z:

{ x = − 2 − 3 z y = 5 + z z ∈ R {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x&=&-2&-&3z\\y&=&5&+&z\\z&\in &\mathbb {R} \\\end{matrix}}\right.}

- Hệ

{ x + y = 2 x − y = 0 x − 3 y = 3 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x&+&y&=&2\\x&-&y&=&0\\x&-&3y&=&3\\\end{matrix}}\right.}

vô nghiệm.

Các trường hợp đặc biệtSửa đổi

Nếu k bằng n, và ma trận A là khả nghịch (hay định thức của ma trận A khác không) thì hệ có nghiệm duy nhất:

x = A−1 b với A−1 là ma trận nghịch đảo của A.

Nếu b=0 (mọi bi bằng 0), hệ được gọi là hệ thuần nhất. Tập tất cả các nghiệm của một hệ phương trình thuần nhất lập thành một không gian vecter con của $R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , nó được gọi là hạt nhân của ma trận A, viết là Ker(A).(Cũng là hạt nhân của phép biến đổi tuyến tính xác định bởi ma trận A). Nếu hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có k=n và ma trận A khả nghịch thì nó có nghiệm duy nhất là nghiệm không.

Các phương pháp giảiSửa đổi

Dưới đây liệt kê vài phương pháp tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính:

Phép khử Gauss
Phép phân rã Cholesky
Phép đệ quy Levinson
Phép đệ quy Schur
Phép phân rã giá trị dị thường

Xem thêmSửa đổi

Phương trình tuyến tính
Hệ phương trình
Phương trình ma trận
Ma trận nghịch đảo

Tham khảoSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi

(tiếng Anh) Simultaneous Linear Equations Solver

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học \| Đại số \| Giải tích \| Hình học \| Lý thuyết số \| Toán học rời rạc \| Toán học ứng dụng \| Toán học giải trí \| Toán học tô pô \| Xác suất thống kê

Học Tốt Phương trình

Giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Hình thức tổng quátSửa đổi

Điều kiện có nghiệm trong trường hợp tổng quátSửa đổi

Các trường hợp đặc biệtSửa đổi

Các phương pháp giảiSửa đổi

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi

Bài Viết Liên Quan

Quảng Cáo

Có thể bạn quan tâm

Quảng cáo

Xem Nhiều

Quảng cáo

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội