Tập nghiệm của bất phương trình log2 3 2x 2 x - 1 0

Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Nhóm 4. Tìm tham số m thỏa đề bài Ví dụ 31. [THPTQG – 2019 – 101] Cho phương trình log9 x2  log3 3x 1   log3 m [ m là tham số thực]. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm? A. 2. B. 4. C. 3. D. Vô số. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 32. Cho phương trình log9 x2  log3 3x  1   log3 m [ m là tham số thực]. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất? A. 5. B. 3. C. 6. D. 2. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 33. [ĐỀ THAM KHẢO – 2017] Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong 2017;2017 để phương trình log mx  2 log  x  1 có nghiệm duy nhất? A. 2017. B. 4014. C. 2018. D. 4015. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 49Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Dạng 2. Giải phương trình mũ – logarit bằng cách đặt ẩn số phụ Nhóm 1. Phương trình mũ, phương trình logarit   Phương trình mũ f agx  0 với 0  a  1. Các dạng thường gặp: ] m.akf x  n.a f x  p  0. Đặt: t  a f x t  0 , đưa về pt bậc hai, ba, … theo t tùy theo k. ] m.a f x  n.b f x  p  0, trong đó: a.b  1. Đặt: t  a f x t  0 , suy ra b f x  1  t  a  f  x   b  ] m.a2 f x  n.a.b f x  p.b2 f x  0. Chia 2 vế cho b2 f x và đặt t  .  ] u  a f x P a f x,agx  0. Đặt:   agx , đưa về dạng tích. v  Phương trình lôgarit f loga g  x  0. ] Đặt t  loga g  x. Ví dụ 34. Phương trình 32x1  4.3x  1  0 có hai nghiệm x1, x2  x1  x2  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. x1.x2  1. B. x1  2x2  1. C. 2x1  x2  0. D. x1  x2  2. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 35. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 4x1  3.2x  7  0 là A. log2 7. B. 12. C. 28. D. log2 28. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 36. Tích tất cả các nghiệm thực của phương trình 4x21  6.2x22  2  0 bằng A. 2 . B. 8 . C. 6 . D. 4 . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 50Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Ví dụ 37. Số nghiệm thực của phương trình 8x  3.4x  3.2x1  8  0 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 38. Số nghiệm thực của phương trình 23x  6.2x  1  12 1 là 23 x1 2x A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 39. Nghiệm của phương trình 6.4x  13.6x  6.9x  0 là A. x  1. B. x  2 , x  3  C. x  1 , x  2. D. x  3 , x  1. 32 2 2 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 40. Số nghiệm thực của phương trình 25x  15x  2.9x là A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 51Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit 11 1 Ví dụ 41. Phương trình 2.4 x  6x  9 x có 1 nghiệm là x  loga b. Giá trị của a.b bằng 3 A. 4 . B. 18 . C. 1 . D. 2 . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 42. Tổng các nghiệm thực của phương trình 42x2  2.4x2x  42x  0 là A. 0 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . 4 2 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 43. Tổng các nghiệm của phương trình 22x21  9.2x2x  22x2  0 là A.  1  B. 3. C. 1. D. 3  2 2 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... xx    Ví dụ 44. Tích tất cả các nghiệm của phương trình 5  2 6  5  2 6  10 bằng A. 1  B. 1. C. 2. D. 3  2 2 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 52Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit xx    Ví dụ 45. Tổng các nghiệm của phương trình 7  4 3  3 2  3  2  0 là A. 2. B. 1  C. 0. D. 5  2 2 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... x 5  1 x  2x1 là 5 1     Ví dụ 46. Tổng các nghiệm của phương trình A. 1. B. 1  5  C. 0. D. 1  5  2 2 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 47. Tổng các nghiệm phương trình log32 x  4 log3 3x  7  0 là A. 1  B. 30 . C. 27. D. 10  3 27 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 48. Tích các nghiệm thực của phương trình log 2 x  4 log2 5. log5 x 3  0 là 2 A. 1  B. 1  C. 16. D. 1  2 4 8 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 53Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Ví dụ 49. Tích các nghiệm phương trình log2 x  3log2 x  log1 x  2 là 2 2 A. 2. B. 2  C. 2 2. D. 2  4 2 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 50. Tích các nghiệm phương trình log 2  4 x   3 log 2 x 7  0 là 2 A. 2. B. 4. C. 8 2. D. 2  2 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................    Ví dụ 51. Số nghiệm thực của phương trình log3 3x  1 .log3 3x2  9  3 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 52. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 4  xlog2 2 x log2 6  2.3log2 4 x2 bằng A. 4  B. 9  C. 1  D. 1  9 4 4 16 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 54Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Nhóm 2. Tìm tham số m thỏa đề bài  Sử dụng các điều kiện của phương trình bậc hai: at2  bt  c  0. ] Kiểm tra phương trình có nghiệm đẹp không? a  0 a  0 ] Có hai nghiệm có hoành độ dương:   0 ] Có hai nghiệm có hoành độ âm:   0 P  . P  . 0 0 S  0 S  0 ] Có hai nghiệm có hoành độ trái dấu: a.c  0. ] Có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1    x2   x1     x2     0.   0 ] Có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1  x2     x1     x2     0.  x1  x2  2    0 ] Có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn   x1  x2   x1     x2     0.  x1  x2  2   Sử dụng phương pháp cô lập m. ] Đưa về dạng m  f  x , x  D. ] Khảo sát hàm số f  x và kết luận yêu cầu bài toán. Ví dụ 53. Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 25x  m  1.5x  m  0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x12  x22  4 bằng A. 626  B. 0. C. 26  D. 26  25 25 5 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................  Ví dụ 54. Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình 4x  2m6x  m2  3 9x  0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1  x2  0 ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 55Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Ví dụ 55. Phương trình log32 x  m  2 log3 x  2m  0 có hai nghiệm thực phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1  x2  6. Giá trị của biểu thức x1  x2 bằng A. 3. B. 8. C. 2. D. 4. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 56. Biết rằng phương trình log32 x  m log3 x  3m  7  0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn x1x2  27. Giá trị của x1  x2 bằng A. 6. B. 34  C. 12. D. 1  3 3 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 57. Biết rằng phương trình 9x  2.3x1  m  0 có hai nghiệm thực x1, x2 thỏa mãn x1  x2  1. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m 5;7. B. m 4; 2. C. m 2;4. D. m 1;1. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 58. [THPTQG – 2017 – 102] Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4x  2x1  m  0 có hai nghiệm thực phân biệt. A. m  ;1. B. m  0;1. C. m  0;1. D. m  0; . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 56Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Ví dụ 59. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  10;10 để phương trình 9x  6x  m.4x  0 có nghiệm A. 10. B. 18. C. 9. D. 8. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 60. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  10;10 để phương trình 9x  m  1 6x  4x1  0 có hai nghiệm trái dấu? B. 1. C. 2. D. 5. A. 6. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 61. [THPTQG – 2018 – 104] Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình 9x  m.3x1  3m2  75  0 có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử? A. 8. B. 4. C. 19. D. 5. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 57Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Ví dụ 62. Biết rằng phương trình log2 x  m log x  1  0 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1. Mệnh đề nào 33 dưới đây đúng? A. m   1 ; 2 . B. m 2;0. C. m 3;5. D. m  3;  5  .  2 2  ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 63. Tất cả các giá trị của m để phương trình log32 x  log3 x2  m  2  0 có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1;27. A. 1;2. B. 1;2. C. 1;2. D. 1; . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 58Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Dạng 3. Logarit hóa – mũ hóa Nhóm 1. Giải phương trình  Phương trình a f x  b  0  a  1, b  0 .  f  x  loga b   Phương trình a f x  b f x.gx  logb a f x  logb b f x.gx  f  x. logb a  f  x.g  x.  Phương trình loga g  x  f x  g  x 0   a f x .  g  x  Ví dụ 64. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2x3  3x25x6 bằng A. log3 486. B. log3144. C. log3 96. D. log2 72. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 65. Tích tất các nghiệm của phương trình 5x25x6  2x3 bằng A. log5 64000. B. log3 324. C. log5 125000. D. 3. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... x 1 Ví dụ 66. Tích tất cả các nghiệm thực của phương trình 5x.8 x  500 bằng A. 3. B.  log5 2. C.  log5 8. D. log5 8. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 67. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2x24.52x  1 bằng A. log2 20. B. 2  log2 5. C. 2. D. log2 5. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 59Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Ví dụ 68. Tích các nghiệm thực của phương trình 2x21  32x3 bằng A. 3log2 3. B.  log2 54. C. 1. D. 1  log2 3. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 69. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 2x23  32x3 là A. log312. B. log316. C. 1  log3 4. D. 2 log2 3. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................  Ví dụ 70. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log5 25  5x  x  3  0 bằng A. 1. B. 3. C. 25. D. 2. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................  Ví dụ 71. [ĐỀ THAM KHẢO – 2019] Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log3 7  3x  2  x bằng A. 2. B. 1. C. 7. D. 3. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 72. Số nghiệm của phương trình log 2  5.2 x 8   3 x bằng  2x 2    A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 60Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Ví dụ 73. Cho a, b  0 thỏa mãn log4 a  log6 b  log9 a  b. Giá trị của a bằng b A. 1  B. 1  5  C. 1  5  D. 1  5  2 2 2 2 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 74. Cho a, b  0 thỏa mãn log16 a  log20 b  log25 2a  b . Tỉ số a bằng 3 b A. 5  B. 2  C. 3  D. 4  4 3 2 5 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................  Ví dụ 75. Cho a  b  0 thỏa mãn log2 a  log3 b  log6 a2  b2  3ab . Tập hợp tất cả các giá trị của tỉ số a bằng b    A. 4  2;4  2 . B. 2  2 .    C. 2  3;2  3 . D. 2  3 . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 61Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Ví dụ 76. Cho hàm số f  x có bảng biến thiên như sau:  Phương trình log3 10  3f x  2  f  x có số nghiệm phân biệt là A. 2. B. 3. C. 6. D. 4. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 77. Cho hàm số f  x có bảng biến thiên như hình sau: Phương trình 2 f 2x4.62 f x  1 có bao nhiêu nghiệm thực? A. 5. B. 3. C. 6. D. 4. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 62Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Nhóm 2. Tìm tham số m thỏa yêu cầu bài toán Ví dụ 78. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 3x2.22xm  7 có hai nghiệm phân biệt? A. 5. B. 3. C. 4. D. 6. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 79. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  2018 để phương trình log6 2018x  m  log4 1009x có nghiệm? A. 2019. B. 2018. C. 2017. D. 2020. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................  Ví dụ 80. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình log2 4x  m  x  2 có đúng hai nghiệm phân biệt? A. 4. B. 2. C. 1. D. 3. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 63Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Dạng 4. Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số Nhóm 1. Giải phương trình  Nếu hàm số y  f  x luôn đồng biến [hoặc nghịch biến] trên khoảng D thì phương trình f  x  0 có không quá 1 nghiệm trên D. Hệ quả: Nếu hàm số y  f  x có đạo hàm f  x liên tục và f  x  0 có một nghiệm trên D thì phương trình f  x  0 có không quá 2 nghiệm trên D.  Nếu hàm số y  f t đồng biến [nb] trên D và tồn tại u, v  D thì f u  f v  u  v. Muốn dùng định lý này ta phải xây dựng được hàm đặt trưng f t. Ví dụ 81. Phương trình 3x  4x  25 có bao nhiêu nghiệm? A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 82. Phương trình 7x  6x  1 có bao nhiêu nghiệm? A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 83. Phương trình log3  x  1  log5 2x  1  2 có bao nhiêu nghiệm? A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................    Ví dụ 84. Tích tất cả các nghiệm của phương trình log3 x2  2x  1  log2 x2  2x bằng A. 2. B. 2. C. 1  D. 1  3. 2 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 64Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Ví dụ 85. Số nghiệm của phương trình 7x  1  6 log7 6x  1 bằng A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 86. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 7x1  1  3log7 6x  53 bằng A. 4. B. 3. C. 1. D. 2. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 87. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log 2 x   x  5.log2 x  6 2x  0 bằng 2 A. 17  B. 5  C. 3. D. 6. 4 2 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 88. Số nghiệm của phương trình 25x  2 3  x.5x  2x  7  0 là A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 65Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Nhóm 2. Tìm tham số m thỏa điều kiện Ví dụ 89. Có bao nhiêu số nguyên tham số m để phương trình 3x  2x  2m 1 3m1 có nghiệm trong khoảng 1;5 ? A. 4. B. 5. C. 6. D. 3. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 90. Có bao nhiêu cặp số nguyên  x; y thỏa mãn 0  x  2020 và log3 3x  3  x  2 y  9y ? A. 2019. B. 6. C. 2020. D. 4. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 91. Cho phương trình 5x  m  log5  x  m với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  20;20 để phương trình đã cho có nghiệm? A. 20. B. 19. C. 9. D. 21. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 66Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit  Ví dụ 92. Có bao nhiêu số nguyên dương của m để phương trình log 64  x2  2m  2x2  2m  130 2 có nghiệm? A. 6. B. 7. C. 8. D. 5. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 93. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  10 để phương trình 22x  log2 x  m  m có nghiệm? A. 10. B. 2. C. 1. D. 9. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 67Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit BÀI 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LÔGARIT Dạng 1. Bất phương trình mũ & lôgarit cơ bản hoặc đưa về cùng cơ số Nhóm 1. Bất phương trình mũ cơ bản a x  b a  0, a  1.  Nếu b  0 thì tập nghiệm S  .  Nếu b  0 : ] Với a  1 thì bất phương trình a x  b  x  loga b. ] Với 0  a  1 thì bất phương trình a x  b  x  loga b. Ví dụ 1. Tập nghiệm của bất phương trình 2x  4 là A. 2; . B. 2; . C. 2;2. D. ;  2. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 2. Tập nghiệm của bất phương trình 2x  3 là A. log2 3;  . B. log3 2;  . C. ;log2 3. D. ;log3 2. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 3. Tập nghiệm của bất phương trình  1 x  3 là  2   log3 1  .  1   A. log1 3;   . B. 2 ;   C.  ; log3 2  . D.  ;log1 3 . 2   2 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 4. Tập nghiệm của bất phương trình  1 x  9 là  3  A. 2; . B. 2;  . C. ;  2. D. ;2. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... x  Ví dụ 5. Tập nghiệm của bất phương trình 2  3  2  3 là A. 1; . B. 1;  . C. ; 1. D. ;1. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 68Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Nhóm 2. Bất phương trình logarit cơ bản loga u  x  b hay loga u  x  b a  0, a  1.  Điều kiện: u  x  0.  Bất phương trình loga u  x  b. ] Nếu a  1 thì bất phương trình loga u  x  b  u  x  ab. ] Nếu 0  a  1 thì bất phương trình loga u  x  b  u  x  ab.  Bất phương trình loga u  x  b. ] Nếu a  1 thì bất phương trình loga u  x  b  u  x  ab. ] Nếu 0  a  1 thì bất phương trình loga u  x  b  u  x  ab. Ví dụ 6. [ĐỀ MINH HỌA – 2017] Giải bất phương trình log2 3x 1  3. A. x  3. B. 1  x  3. C. x  3. D. x  10  3 3 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 7. [ĐỀ MINH HỌA – 2017] Giải bất phương trình log2 3x 1  3. A. x  3. B. 1  x  3. C. x  3. D. x  10  3 3 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 8. Tập nghiệm của bất phương trình log1  x  3  2 là 2 A. x  13  B. x  13  C. 3  x  13  D. 3  x  13  4 4 4 4 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 9. Tập nghiệm của bất phương trình log1  x  3  2 là 2 A. x  13  B. x  13  C. 3  x  13  D. 3  x  13  4 4 4 4 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 69Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Ví dụ 10. Tập nghiệm của bất phương trình log3 4x  6  0 là x A. 2;  3  . B. 2;0. C. ;2. D.  \\  3 ; 0 . 2  2 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 11. Tập nghiệm của bất phương trình log 1 x2  0 là 3 2x 3 A.  3 ;   . B. 2; 1 . C.  2; 13  . D.  ; 1 .  2 3   3 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................  Ví dụ 12. Tập nghiệm của bất phương trình log3  log1 x   1 là  2 A. 0;1. B.  1 ;1 . C. 1;8. D.  1 ; 3  .  8  8 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 13. Tập nghiệm của bất phương trình log 1  log3 2x 1   0 là 2  x 1  A. ; 2  4; . B. ; 2  4; . C. 4; . D. 2;1  1;4. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 70Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Nhóm 3. Bất phương trình mũ và logarit đưa về cùng cơ số  Dạng a f x  a gx : ] Nếu a  1 thì a f x  agx  f  x  g  x. ] Nếu 0  a  1 thì a f x  agx  f  x  g  x.  Dạng loga f  x  loga g  x : ] Nếu a  1 thì loga f  x  loga g  x  f  x  g  x. ] Nếu 0  a  1 thì loga f  x  loga g  x  f  x  g  x.  1 x2x  1 4 x  2   Ví dụ 14. Tập nghiệm của bất phương trình   là 2  A. 2; . B. 2; . C. 2;2. D. ; 2  2; . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 15. [ĐỀ THAM KHẢO – 2018] Tập nghiệm của bất phương trình 22x  2x6 là A. 0;6. B. ;6. C. 0;64. D. 6; . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 16. [ĐỀ MINH HỌA – 2017] Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 5x1  1  0. 5 A. S  1; . B. S  1; . C. 2; . D. ; 2. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................  5 5x 7  2 x1  5  Ví dụ 17. Tập nghiệm của bất phương trình   là  2  A. x  1. B. x  1. C. x  1. D. x  1. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................  1 2 x 10  Ví dụ 18. Bất phương trình 2 x2 3x4   có bao nhiêu nghiệm nguyên dương? 2  A. 2. B. 4. C. 6. D. 3. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 71Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit 2x x    Ví dụ 19. Tập nghiệm của bất phương trình 5  2 x1  5  2 là A. ;1  0;1. B. 1;0. C. ;1  0; . D. 1;0  1; . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 3x x1    Ví dụ 20. Số nghiệm nguyên của bất phương trình 10  3 x1  10  3 x3 là bao nhiêu? A. 2. B. 0. C. 1. D. 3. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... x x1      Ví dụ 21. Tập nghiệm của bất phương trình 2  3  7  4 3 2  3 là A.  ; 1  . B.  1 ;  . C.  2; 1  . D.  1 ; 2  .  2   2  2  2 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 1 x2 3x10  3  Ví dụ 22. Gọi S là tập các nghiệm nguyên của bất phương trình  32x. Số phần tử của S là A. 11. B. 10. C. 9. D. 1. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 72Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit 1 x2  3  Ví dụ 23. Tập nghiệm của bất phương trình  3 x là A. 2; . B. 1;2. C. 1;2. D. 2; . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 24. Bất phương trình log2 2x  5  log2  x 1 có tập nghiệm là S. Hỏi trong S có bao nhiêu phần tử là số nguyên bé hơn 10 ? A. 15. B. 9. C. 8. D. 10. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 25. [ĐỀ THAM KHẢO – 2017] Tập nghiệm của bất phương trình log1  x  1  log1 2x 1 là 22 A. S  2; . B. S  ;2. C. S   1 ; 2  . D. S  1;2.  2 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 26. Tập nghiệm của bất phương trình 3log3  x  1  log3 3 2x  1  3 là A. 1;2. C.  1 ; 2 . B. 1;2. D.   1 ; 2 . 2  2 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 73Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ, mũ hóa, logarit hóa hoặc phương pháp hàm số Nhóm 1. Đặt ẩn phụ Ví dụ 27. Tập nghiệm của bất phương trình 16x  5.4x  4  0 là A. ;1  4; . B. ;1  4; . C. ;0  1; . D. ;0  1; . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 28. Biết S  a;b là tập nghiệm của bất phương trình 3.9x  10.3x  3  0. Giá trị b  a bằng A. 8  B. 1. C. 10  D. 2. 3 3 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 29. Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình 9x1  36.3x3  3  0 là A. 6. B. 3. C. 0. D. 10. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 30. Số nghiệm nguyên của bất phương trình 3x  9.3x  10 là A. 7. B. 1. C. 5. D. Vô số. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 74Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Ví dụ 31. Tập nghiệm của bất phương trình log22 x  5log2 x  4  0 là A. ;2  16; . B. 2;16. C. 0;2  16; . D. ;1  4; . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 32. Gọi S  a;b là tập nghiệm của bất phương trình log32 x  2 log3 3x 1  0. Giá trị của biểu thức 3a  b bằng A. 3. B. 3. C. 11. D. 28. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................    Ví dụ 33. Gọi S  a;b là tập nghiệm của bất phương trình log2 2x 1 .log1 2x1  2  2. Giá trị của 2 a  b bằng A. 1. B. log 2 15  C. log2 3 D. log2 5. 2 2 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 34. Tập nghiệm của bất phương trình 9x  2.6x  4x  0 là A. 0; . B. . C.  \\ 0. D. 0; . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 75Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Nhóm 2. Logarit hóa Ví dụ 35. Tập nghiệm của bất phương trình 3x2  2x là A. 0; . B. 0;log2 3. C. 0;log3 2. D. 0;1. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 36. Tập nghiệm của bất phương trình 3x.5x2  1 là A.  log5 3;0. B. 0;log3 5. C.  log5 3;0. D. 0;log3 5. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 37. Tập nghiệm của bất phương trình 2x24  5x2 là A. ;2  log2 5; . B. ; 2  log2 5; . C. ;log2 5  2  2;  . D. ;log2 5  2  2; . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 38. Cho hàm số f  x  3x2.4x. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f  x  9  2x log 3  x log 4  log 9. B. f  x  9  x2 log2 3  2x  2 log2 3. C. f  x  9  x2  2x log3 2  3. D. f  x  9  x  90   ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 76Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Nhóm 3. Xét dấu Ví dụ 39. [ĐỀ-THPT-QG-MÃ-101-ĐỢT-1-2021] Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn  3x2  9x log3  x  25  3  0? A. 27. B. Vô số. C. 26. D. 25. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................  Ví dụ 40. Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn 2x24  1 x2  7x  6  0. A. 6. B. 7. C. 5. D. 8. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 41. [ĐỀ-THPT-QG-MÃ-102-ĐỢT-1-2021] Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn  3x2  9x log2  x  30  5  0? A. 30. B. Vô số. C. 31. D. 29. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................  Ví dụ 42. Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn 2x  x 1 log2  x 10  5  0? A. 31. B. Vô số. C. 30. D. 32. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 77Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Dạng 3. Bài toán chứa tham số trong bất phương trình mũ & logarit Nhóm 1. Tìm m để bất phương trình f  x,m  0 hoặc f  x,m  0 có nghiệm trên D?  Bước 1. Cô lập m đưa về dạng m  g  x hoặc m  g  x.  Bước 2. Khảo sát sự biến thiên và dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị m. Ví dụ 43. [THPTQG – 2017 – 103] Tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình log 2 x  2 log2 x  3m  2  0 có nghiệm thực. 2 A. m  1. B. m  2  C. m  0. D. m  1. 3 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 44. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình  log0,5 x2  2x  m  3  0 có nghiệm thực? A. 8. B. 1. C. 9. D. Vô số. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 45. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  10;10 để bất phương trình 9x  m.3x  1  0 có nghiệm? A. 8. B. 7. C. 9. D. 10. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 78Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Nhóm 2. Tìm m để bất phương trình f  x,m  0 hoặc f  x,m  0 có nghiệm đúng trên D?  Bước 1. Cô lập m đưa về dạng m  g  x hoặc m  g  x.  Bước 2. Khảo sát sự biến thiên và dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị m. Ví dụ 46. Số nguyên của m bất phương trình log 2 x  m log2 xm0 nghiệm đúng x  0;  ? 2 A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 2  Ví dụ 47. Tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình 4 log2 x  log2 x  m  0 nghiệm đúng x  1;64. A. m  0. B. m  0. C. m  0. D. m  0. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 48. Tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình 9x  m.3x  m  3  0 nghiệm đúng x  . A. m  2. B. m  2. C. m  6. D. m  2. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 49. Tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình m.4x  m 1.2x2  m 1  0 nghiệm đúng với mọi x. B. m  1. C. 1  m  4. D. m  1. A. m  3. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 79Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit MỘT SỐ DẠNG VẬN DỤNG CAO Dạng 1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Nhóm 1. Hàm đặc trưng  Nắm vững các bất đẳng thức: ] a  b  2 ab, a  b  c  33 abc với a,b, c là các số thực dương.   ] a.b  c.d 2  a2  c2 b2  d 2 . ] Khảo sát hàm số.  Sử dụng tính chất hàm đặc trưng: ] Đưa phương trình, hoặc bất phương trình về dạng f u   f v. ] Nếu hàm số f t  đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì u  v.  Sử dụng tính chất hàm lẻ và đồng biến hoặc nghịch biến: ] Nếu hàm số f  x lẻ, nghĩa là f x   f  x. ] Sử dụng tính chất đồng biến, hoặc nghịch biến. Ví dụ 1. Với các số x, y, z  1 thỏa mãn logx y  log y z  logz x  5. Giá trị lớn nhất của logx y gần nhất với số nào dưới đây? A. 3. B. 7  C. 4. D. 9  2 2 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 2. Với các số a,b  1, giá trị lớn nhất của biểu thức P  log  a2   logb  b3  bằng     a  b   a 2  A. 5. B. 3. C. 6. D. 1. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 80Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Ví dụ 3. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log2 x  3y 1  x  y. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y P  x2  y2  4 y bằng A. 1  B. 3  C. 1  D. 1. 4 4 2 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 4. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log2 x  x  x  y  log2 6  y  6x. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  3x  2 y  6  8 bằng xy A. 59  B. 19. C. 53  D. 8  6 2. 3 3 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................  Ví dụ 5. x Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 2y  log2 x  2 y1  2x  y. Giá trị nhỏ nhất của tỉ số y gần nhất với số nào dưới đây? A. 1  B. 1. C. 3  D. 2. 2 2 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 81Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit  Ví dụ 6. Cho hàm số f  x  ln x  x2 1 . Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn f a  f b  2  0 và 4ab  1  2 a  b. Giá trị của a2  b2 bằng ab A. 1. B. 4. C. 3. D. 2. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................  Ví dụ 7. Xét hàm số f  x  x  ln x  x2  1 . Với các số thực a,b thỏa mãn f a  f 2b  1  0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2  ab  b2 bằng A. 1  B. 1  C. 1  D. 7  3 2 4 4 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................  Ví dụ 8. Xét các sổ thực dương x, y, z thỏa mãn z 3x y 1  xz  yz  3. Giá trị nhỏ nhất của biểu  27 z  thức P  log 3 z  log3 3y2  x2 bằng A. 2  log3 2. B. 3  2 log3 2. C. log311. D. 3  log3 2. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 82Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Ví dụ 9. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log2  xy  3x  8  y. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x P  log2 x3  log2 y  13 bằng A. 16. B. 12. C. 8. D. 20. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 10. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn 32x3y  3  3x  6 y . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y P  9  3 3  1 đạt được khi x.y bằng 4x 2 xy 4 A. 1  B. 1  C. 1  D. 1  25 32 27 24 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 11. Cho x, y  thỏa mãn: 3x2  y2 2. log2 x  y  1 1  log2 1  xy  . Giá trị lớn nhất của biểu 2  thức 2 x3  y3  3xy bằng A. 13  B. 17  C. 3. D. 7. 2 2 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 83Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Nhóm 2. Đánh giá hai vế biểu thức x 1 2x  Ví dụ 12. Biết rằng  log2 14   y  2 y 1 trong đó x  0. Giá trị của biểu thức C. 1. D. 4. x2  y2  xy  1 bằng A. 3. B. 2. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 13. [ĐỀ-CHÍNH-THỨC-LẦN-1-101-2020] Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn 2x  y.4xy1  3. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x2  y2  4x  6 y bằng A. 33  B. 65  C. 49  D. 57  4 8 8 8 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 14. Cho các số thực x, y thỏa mãn log2  x  y  x3  log2  x  4 y  2x2 y 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x2  y2  x  3y bằng A.  1  B. 1. C.  5  D. 1  4 4 4 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 84Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Nhóm 3. Phương trình, bất phương trình có nghiệm đẹp  Ví dụ 15. Cho các số thực x, y  0 thỏa mãn 2x y1 3xy  1  3x  3y  1. Giá trị nhỏ nhất của x2  xy  y2 bằng A. 3 . B. 1 . C. 4 . D. 3. 4 4 5 5 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 16. Xét các số x, y  0 thỏa mãn 2xy1  x  y. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x2  y2. Giá trị M  m thuộc khoảng nào dưới đây? A. 1;2. B. 2;3. C. 3;4. D. 4;5. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 17. [ĐỀ-CHÍNH-THỨC-LẦN-2-101-2020] Xét các số thực x, y thỏa mãn  2 x2 y21 x2  y2  2x  2 4x. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  4 y gần nhất với số 2x  y 1 nào dưới đây? B. 3. C. 5. D. 4. A. 2. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 85Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Dạng 2. Đếm số giá trị nguyên thỏa đề bài Nhóm 1. Ví dụ 18. Có bao nhiêu cặp số nguyên a,b thỏa mãn 2  a,b  100 và phương trình axbx2 1  1 có hai nghiệm phân biệt? A. 524. B. 508. C. 615. D. 516. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 19. Có bao nhiêu cặp số nguyên  x; y thỏa mãn 2x  22  2 y  22  x2  y2   18 ?  log2  x y    A. 20. B. 21. C. 22. D. 24. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 20. [ĐỀ-THAM-KHẢO-LẦN-1-2020] Có bao nhiêu cặp số nguyên  x; y thỏa mãn 0  x  2020 và log3 3x  3  x  2 y  9y ? A. 2019. B. 6. C. 2020. D. 4. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 86Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Nhóm 2. Ví dụ 21. Có bao nhiêu số nguyên m sao cho tồn tại các số thực x, y  1 thỏa mãn log2  x  y  log3  x  y  2 và x2  y2  m ? A. 4. B. 7. C. 5. D. 6. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 22. Có bao nhiêu số nguyên n sao cho tồn tại số thực x 2;16 và số thực y thỏa mãn log2 x  log3  x  y   n  1 và log2 y  log3 2x  y  n ? A. 5. B. 8. C. 7. D. 6. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 23. Có bao nhiêu số nguyên x, y thoả mãn x2  y2  2020 và 2x  2y 1  log2  x  y  1 ? A. 63. B. 64. C. 127. D. 126. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 87Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Nhóm 3. Phương pháp hàm số Ví dụ 24. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x, tồn tại số thực y sao cho y 1; 4 và ln 1 x2 y   x  2 y ? A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 25. Có bao nhiêu số nguyên x 2021; 2021 để ứng với mỗi x có tối thiểu 64 số nguyên y thỏa mãn log3 x4  y  log2  x  y? A. 3990. B. 3992. C. 3988. D. 3989. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 26. Có bao nhiêu giá trị thực của y để với mọi y tồn tại đúng 2 giá trị thực của x sao cho ln 4x2   xy  y ? A. 1. B. Vô số. C. 2. D. 3. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 88Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit    Ví dụ 27. Có bao nhiêu cặp số  x; y thỏa mãn ln x2  2 y  ln y2  4x 1  x2  y2  4x  2 y 1? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 28. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x tồn tại y 2;8 thỏa mãn  y  x log2  x  y  y  x2 ? A. 4. B. 8. C. 5. D. 7. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 29. [ĐỀ-THAM-KHẢO-BGD-LẦN-1-2021] Có bao nhiêu số nguyên a a  2 sao cho tồn tại số  thực x thỏa mãn alogx  2 loga  x  2? A. 8. B. 9. C. 1. D. Vô số. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 89Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Ví dụ 30. [ĐỀ-CHÍNH-THỨC-102-ĐỢT-1-2021] Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại x   1 ; 4   3  thỏa mãn 273x2 xy  1 xy 2712x ? A. 14. B. 27. C. 12. D. 15. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 90

Gi¶i tÝch 12 – Ch­¬ng 2 – Mò - Logarit Ví dụ 31. [ĐỀ-CHÍNH-THỨC-102-ĐỢT-2-2021] Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho tồn tại số  thực x 1;5 thỏa mãn 4 x 1 ex  y ex  xy  2x2  3 ? A. 14. B. 12. C. 10. D. 11. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 91