Tìm m để phương trình có nghiệm bằng bảng biến thiên

“Bạn cũng làm được như tôi” Nguyễn Chí Phương

1

Bài học 1: [Chuyên đề khảo sát hàm số]

BÀI TỐN TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM



Mô hình 1:

Dùng phương pháp bảng biến thiên

Đưa [*] về dạng 𝑔[𝑥] = ℎ[𝑚]. Đặt: 𝑦 = 𝑔[𝑥] [𝐶] [đồ thị [𝐶] có thể là một đường thẳng hay đường cong] và 𝑦 = ℎ[𝑚] [∆] [đồ thi [∆] là một đường thẳng nằm ngang]. Như vậy ta đã đưa bài toán trên về bài tốn “ tìm m để [∆] cắt [C] tại 𝑛 điểm phân biệt “. Lập bảng biến thiên của hàm 𝑦 = 𝑔[𝑥] ta có kết quả sau khi biện luận. Sau đây là một vài ví dụ cho bạn :

Ví dụ 1:

Đặt: 𝑦 = 𝑡2− 4𝑡 + 3 [𝐶] và 𝑦 = −4𝑚 [∆]

Lập bảng biến thiên của hàm 𝑦 = 𝑡2− 4𝑡 + 3 [hình bên] Để [1] có nghiệm 𝑡 ∈ [−1,1] thì [∆] cắt [𝐶] trong [−1,1]. Nhìn BBT suy ra 0 ≤ −4𝑚 ≤ 8 ⇔ −2 ≤ 𝑚 ≤ 0.

Ví dụ 2:

𝑥 = 4𝑚. Đặt 𝑦 =4−3𝑥2

𝑥 [𝐶] và 𝑦 = 4𝑚 [∆]Lập bảng biến thiên của hàm 𝑦 =4−3𝑥2

𝑥 [hình bên]

Để [2] có nghiệm trên [−1,1] thì [∆] cắt [𝐶] trong khoảng [−1,1]. Nhìn BBT suy ra [ 4𝑚 ≤ −1

4𝑚 ≥ 1 ⇔ [

𝑚 ≤ −14𝑚 ≥1

4

Nhược điểm của mô hình 1 chính là việc biến đổi về 𝑔[𝑥] = ℎ[𝑚] chỉ thực hiện được với phương trình mà mũ của tham số đồng bậc nhau. Trường hợp ngược lại thì sao? Ta xét tiếp mơ hình 2 sau:



Mơ hình 2: Dùng tam thức bậc 2

Xét phương trình 𝑓[𝑥, 𝑚] = 0 có 2 nghiệm: 𝑥1, 𝑥2 [trường hợp có một nghiệm tương tự]. Kí hiệu 𝑎𝑓 là hệ số đi với mũ cao nhất của 𝑓. Khi đó để nghiệm của [*] thuộc [𝑎, 𝑏] khi ta có các trường hợp sau: 1. Hai nghiệm đều thuộc [𝑎, 𝑏] tức là: 𝑎 ≤ 𝑥1< 𝑥2≤ 𝑏 ⇔ {

𝑎𝑓𝑓[𝑎] ≥ 0,𝑎𝑓𝑓[𝑏] ≥ 0,

𝑎 ≤𝑆2≤ 𝑏.2. Môt nghiệm thuộc [𝑎, 𝑏] tức là: [𝑎 ≤ 𝑥𝑥 1≤ 𝑏 ≤ 𝑥2

1≤ 𝑎 ≤ 𝑥2≤ 𝑏⇔ 𝑓[𝑎]𝑓[𝑏] ≤ 0.

Chào mừng các bạn đến với blog “bạn cũng làm được như tơi”. Trong bài học đầu tiên mình xin trình bày một bài toán khá phổ biến nằm trong phần các bài tốn về hàm số. Đó là dạng “bài tốn tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm” và để giải quyết bài tốn này tơi sẽ đưa ra hai mơ hình để giải quyết. Nào chúng ta bắt đầu với bài toán: Cho hàm số 𝒇[𝒙, 𝒎] = 𝟎 [*] tìm điều kiện của

“Bạn cũng làm được như tôi” Nguyễn Chí Phương

2

3. Cả hai nghiệm không thuộc[𝑎, 𝑏]tức là: 𝑎 < 𝑏 ≤ 𝑥1< 𝑥2⇔ {

𝑎𝑓𝑓[𝑏] ≥ 0,𝑏 ≤𝑆

2.

𝑣à 𝑥1 < 𝑥2≤ 𝑎 < 𝑏 ⇔ {

𝑎𝑓𝑓[𝑎] ≥ 0,𝑆

2≤ 𝑎.

Ta xét lại ví dụ 1 : Phương trình 𝑡2− 4𝑡 + 3 + 4𝑚 = 0 có ∆′= 1 − 4𝑚

+ Với ∆′= 0 ⇔ 𝑚 =1

4 khi đó [1] có một nghiệm 𝑥 = 2 ∉ [−1,1]. + Với ∆′> 0 ⇔ 𝑚 0 nên [2] ln có 2 nghiệm phân

biệt. Để [2] có nghiệm thuộc [−1,1] khi một trong các trường hợp sau xảy ra:  Trường hợp 2 nghiệm thuộc [−1,1]

−1 ≤ 𝑥1< 𝑥2≤ 1 ⇔ {

3. 𝑓[−1] ≥ 03. 𝑓[1] ≥ 0−1 ≤𝑆

2≤ 1⇔ {

−4𝑚 − 1 ≥ 04𝑚 − 1 ≥ 0−1 ≤−4𝑚

6 ≤ 1

⇔{

𝑚 ≤ −14 𝑚 ≥1

4 −3

2≤ 𝑚 ≤32

[𝑣ô 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚].  Trường hợp 1 nghiệm thuộc [−1,1]

[−1 ≤ 𝑥𝑥 1≤ 1 ≤ 𝑥2

1 ≤ −1 ≤ 𝑥2≤ 1⇔ 𝑓[−1]𝑓[1] ≤ 0 ⇔ [−4𝑚 − 1][4𝑚 − 1] ≤ 0 ⇔ [

𝑚 ≤ −14𝑚 ≥1

4

Nhận xét: Rõ ràng từ một bài tốn nhưng vẫn có thể có nhiều cách làm…thật ra cịn có cách làm nữa đó

là viết ra nghiệm của [*] sau đó tìm điều kiện để cho nghiệm đó thuộc hay khơng thuộc [𝑎, 𝑏]. Tuy nhiên cách làm này hơi mất công mà lại không hay nếu nghiệm khi tính ra có dạng phức tạp, cồng kềnh. Hy vọng qua 2 mơ hình bài tốn trên các bạn đã có cho mình được một cách làm tốn tốt nhất. Cuối cùng là một vài ví dụ cho bạn ơn tập.

Bài tập 1: Tìm m để phương trình sin22𝑥 + 2𝑚. sin 2𝑥 − 3 = 0 có nghiệm.

Bài tập 2: Tìm m để phương trình 3𝑥2+ 𝑚𝑥 − 4 = 0 có nghiệm trong [−∞, −2] ∪ [2, +∞].

Bài tập 3: Tìm m để phương trình 3[𝑚 − 1]2𝑥2+ 2𝑚𝑥 + 1 = 0 có nghiệm trong [−1,1].

Hướng dẫn

Bài tập 1: Đặt 𝑡 = sin 𝑥 chuyển qua phương trình bậc 2 theo t…lưu ý với điều kiện của 𝑡. Bài tập 2: Sử dụng mơ hình 1 hoặc 2.

Bài tập 3: Sử dụng mơ hình 2 [do 𝑚 khơng đồng bậc].

Video liên quan