Viết phương trình đường thẳng Delta qua A và vuông góc với d

Vì vậy, trong bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại các dạng toán về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và giải các bài tập minh hoạ cho từng dạng toán để các em dễ dàng nắm bắt kiến thức tổng quát của đường thẳng.

1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng

a] Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

- Cho đường thẳng [d], vectơ 

* Nhận xét: Nếu là vectơ pháp tuyến của [d] thì 

b] Phương trình tổng quát của đường thẳng

* Định nghĩa

- Phương trình [d]: ax + by + c = 0, trong đó a và b không đồng thời bằng 0 tức là [a2 + b2 ≠ 0] là phương trình tổng quát của đường thẳng [d] nhận

* Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng.

- [d]: ax + c = 0 [a ≠ 0]: [d] song song hoặc trùng với Oy

- [d]: by + c = 0 [b ≠ 0]: [d] song song hoặc trùng với Ox

- [d]: ax + by = 0 [a2 + b2 ≠ 0]: [d] đi qua gốc toạ độ.

- Phương trình dạng đoạn chắn: ax + by = 1 nên [d] đi qua A [a;0] B[0;b] [a,b ≠ 0]

- Phương trình đường thẳng có hệ số góc k: y= kx+m [k được gọi là hệ số góc của đường thẳng]

2. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

a] Vectơ chỉ phương của đường thẳng

- Cho đường thẳng [d], vectơ

* Nhận xét: Nếu là vectơ chỉ phương của [d] thì

 là VTPT của [d].

b] Phương trình tham số của đường thẳng: 

* có dạng: 
 ; [a2 + b2 ≠ 0] đường thẳng [d] đi qua điểm M0[x0;y0] và nhận làm vectơ chỉ phương, t là tham số.

* Chú ý: - Khi thay mỗi t ∈ R vào PT tham số ta được 1 điểm M[x;y] ∈ [d].

 - Nếu điểm M[x;y] ∈ [d] thì sẽ có một t sao cho x, y thoả mãn PT tham số.

 - 1 đường thẳng sẽ có vô số phương trình tham số [vì ứng với mỗi t ∈ R ta có 1 phương trình tham số].

Xem thêm: Wukong Mùa 11: Bảng Ngọc, Cách Lên Đồ Ngộ Không Tank, Wukong Tốc Chiến: Bảng Ngọc, Cách Lên Đồ Mới Nhất

c] Phương trình chính tắc của đường thẳng

* có dạng:

d] Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

- Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A[xA;yA] và B[xB;yB] có dạng:

 + Nếu:  thì đường thẳng qua AB có PT chính tắc là:

 + Nếu: xA = xB: ⇒ AB: x = xA

 + Nếu: yA = yB: ⇒ AB: y = yA

e] Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng

- Cho điểm M[x0;y0] và đường thẳng Δ: ax + by + c = 0, khoảng cách từ M đến Δ được tính theo công thức sau:

3. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

- Cho 2 đường thẳng [d1]: a1x + b1y + c1 = 0; và [d2]: a2x + b2y + c =0;

 + d1 cắt d2 ⇔ 

 + d1 // d2 ⇔ và  hoặc và

 + d1 ⊥ d2 ⇔

* Lưu ý: nếu a2.b2.c2 ≠ 0 thì:

 - Hai đường thẳng cắt nhau nếu: 

 - Hai đường thẳng // nhau nếu: 

 - Hai đường thẳng ⊥ nhau nếu: 

II. Các dạng toán về phương trình đường thẳng

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến và 1 điểm thuộc đường thẳng

 Ví dụ: Viết PT tổng quát của đường thẳng [d] biết [d]: đi qua điểm M[1;2] và có VTPT = [2;-3].

* Lời giải: Vì [d] đi qua điểm M[1;2] và có VTPT = [2;-3]

⇒ PT tổng quát của đường thẳng [d] là: 2[x-1] - 3[y-2] = 0 ⇔ 2x - 3y +4 = 0

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương và 1 điểm thuộc đường thẳng

 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng [d] biết rằng [d] đi qua điểm M[-1;2] và có VTCP = [2;-1]

* Lời giải: Vì đường thẳng  đi qua M [1 ;-2] và có vtcp là = [2;-1]

 ⇒ phương trình tham số của đường thẳng là : 

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng

 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng [d] biết rằng:

 a] đi qua M[3;2] và //Δ: 

 b] đi qua M[3;2] và //Δ: 2x - y - 1 = 0

* Lời giải:

a] Đường thẳng Δ có VTCP = [2;-1] vì [d] // Δ nên [d] nhận = [2;-1] là VTCP, [d] qua M[3;2]

⇒ PT đường thẳng [d] là: 

b] đường thẳng Δ: 2x – y – 1 = 0 có vtpt là = [2;-1]. Đường thẳng [d] //Δ nên = [2;-1] cũng là VTPT của [d].

⇒ PT [d] đi qua điểm M[3;2] và có VTPT = [2;-1] là: 2[x-3] - [y-2] = 0 ⇔ 2x - y -4 = 0

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường thẳng

 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng [d] biết rằng [d]:

a] đi qua M[-2;3] và ⊥ Δ: 2x - 5y + 3 = 0

b] đi qua M[4;-3] và ⊥ Δ: 

* Lời giải:

a] Đường thẳng Δ: 2x - 5y + 3 = 0 nên Δ có VTPT là 
=[2;-5]

vì [d] vuông góc với Δ nên [d] nhận VTPT của Δ làm VTCP ⇒ = [2;-5]

⇒ PT [d] đi qua M[-2;3] có VTCP = [2;-5] là: 

b] Đường thẳng Δ có VTCP = [2;-1], vì d⊥ Δ nên [d] nhận VTCP làm VTPT ⇒ = [2;-1]

⇒ Vậy [d] đi qua M[4;-3] có VTPT = [2;-1] có PTTQ là: 2[x-4] - [y+3] = 0 ⇔ 2x - y - 11 = 0.

Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

- Đường thẳng đi qua 2 điểm A và B chính là đường thẳng đi qua A nhận nhận vectơ làm vectơ chỉ phương [trở về dạng toán 2].

 Ví dụ: Viết PTĐT đi qua 2 điểm A[1;2] và B[3;4].

* Lời giải:

- Vì [d] đi qua 2 điểm A, B nên [d] có VTCP là: = [3-1;4-2] = [2;2]

⇒ Phương trình tham số của [d] là: 

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc k cho trước

- [d] có dạng: y = k[x-x0] + y0

 Ví dụ: Viết PTĐT [d] đi qua M[-1;2] và có hệ số góc k = 3;

* Lời giải: 

- PTĐT [d] đi qua M[-1;2] và có hệ số góc k = 3 có dạng: y = k[x-x0] + y0

⇒ Vậy PTĐT [d] là: y = 3[x+1] + 2 ⇔ y = 3x + 5

Dạng 7: Viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng

- Trung trực của đoạn thẳng AB chính là đường thẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng này và nhận vectơ làm VTPT [trở về dạng toán 1].

 Ví dụ: Viết PTĐT [d] vuông góc với đường thẳng AB và đi qua trung tuyến của AB biết: A[3;-1] và B[5;3]

* Lời giải:

- [d] vuông góc với AB nên nhận = [2;4] làm vectơ pháp tuyến

- [d] đi qua trung điểm I của AB, và I có toạ độ: xi = [xA+xB]/2 = [3+5]/2 = 4; yi = [yA+yB]/2 = [-1+3]/2 = 1; ⇒ toạ độ của I[4;1]

⇒ [d] đi qua I[4;1] có VTPT [2;4] có PTTQ là: 2[x-4] + 4[y-1] = 0 ⇔ 2x + 4y -12 = 0 ⇔ x + 2y - 6 = 0.

Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và tạo với Ox 1 góc ∝ cho trước

- [d] đi qua M[x0;y0] và tạo với Ox 1 góc ∝ [00 0] có dạng: y = k[x-x0] + y0 [với k = ±tan∝

 Ví dụ: Viết PTĐT [d] biết [d] đi qua M[-1;2] và tạo với chiều dương trục Ox 1 góc bằng 450.

* Lời giải: 

- Giả sử đường thẳng [d] có hệ số góc k, như vây k được cho bở công thức k = tan∝ = tan[450] = 1.

⇒ PTĐT [d] đi qua M[-1;2] và có hệ số góc k = 1 là: y = 1.[x+1] + 2 ⇔ y = x + 3

Dạng 9: Tìm hình chiếu vuông góc của 1 điểm lên 1 đường thẳng

* Giải sử cần tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng [d], ta làm như sau:

- Lập phương trình đường thẳng [d"] qua M vuông góc với [d]. [theo dạng toán 4].

- H là hình chiếu vuông góc của M lên [d] ⇒ H là giao của [d] và [d"].

Ví dụ: Tìm hình chiếu của điểm M[3;-1] lên đường thẳng [d] có PT: x + 2y - 6 = 0

* Lời giải:

- Gọi [d"] là đường thẳng đi qua M và vuông góc với [d]

- [d] có PT: x + 2y - 6 = 0 nên VTPT của [d] là: 
 = [1;2]

- [d"] ⊥ [d] nên nhận VTPT của [d] là VTCP ⇒ 
 =[1;2]

- PTĐT [d"] qua M[3;-1] có VTCP [1;2] là: 

- H là hình chiếu của M thì H là giao điểm của [d] và [d"] nên có:

 Thay x,y từ [d"] và PT [d]: [3+t] + 2[-1+2t] - 6 = 0 ⇔ 5t - 5 = 0 ⇔ t =1

⇒ x = 4, y = 1 là toạ độ điểm H.

Dạng 10: Tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua một đường thẳng

 * Giải sử cần tìm điểm M" đối xứng với M qua [d], ta làm như sau:

- M" đối xứng với M qua [d] nên M" đối xứng với M qua H [khi đó H là trung điểm của M và M"].

Ví dụ: Tìm điểm M" đối xứng với M[3;-1] qua [d] có PT: x + 2y - 6 = 0

* Lời giải:

- Đầu tiên ta tìm hình chiếu H của M[3;-1] lên [d]. Theo ví dụ ở dạng 9 ta có H[4;1]