- LG 1
- LG 2
Một hình nón có bán kính đáyr, chiều cao bằng3r. Tìm hình trụ nội tiếp hình nón và thỏa mãn một trong các điều kiện sau :
LG 1
Thể tích của hình trụ đạt giá trị lớn nhất;
Lời giải chi tiết:
Xét mặt phẳng qua trục hình nón cắt hình nón và hình trụ nội tiếp hình nón, ta được tam giác cânSABvà hình chữ nhật \[MN{N_1}{M_1}\] nội tiếpSAB. Ở đóAB = 2r, SH = 3r, MNbằng đường kính của đáy hình trụ, \[NN_1\] bằng chiều cao của hình trụ.
Kí hiệu \[{r_1}\] là bán kính đáy hình trụ, \[{h_1}\] là chiều cao hình trụ, ta có \[0 < {r_1} < r,0 < {h_1} < h\] và
\[{{{r_1}} \over r} = {{S{H_1}} \over {SH}} = {{SH - {h_1}} \over {SH}} = {{3r - {h_1}} \over {3r}},\] từ đó \[{h_1} = 3[r - {r_1}].\] Khi đó
Thể tích hình trụ là
\[V = 3\pi r_1^2[r - {r_1}] = {{3\pi } \over 2}{r_1}.{r_1}[2r - 2{r_1}].\]
Từ đó,Vđạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \[{r_1} = {{2r} \over 3}.\]
LG 2
Diện tích xung quanh của hình trụ đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải chi tiết:
Diện tích xung quanh của hình trụ là
\[S = 2\pi {r_1}.{h_1} = 3.2\pi {r_1}[r - {r_1}] = 6\pi {r_1}[r - {r_1}].\]
Từ đóSđạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \[{r_1} = {r \over 2}.\]