- LG a
- LG b
- LG c
Cho khối lập phương ABCD.ABCD cạnh bằng 1.
LG a
Tính góc tạo bởi các đường thẳng AC và AB.
Lời giải chi tiết:
Ta chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc O là đỉnh A của hình lập phương, tia Oy chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AA. Khi đó
A[0;0;0], B[1;0;0];
D[0;1;0], A=[0;0;1];
C=[1;1;1], B=[1;0;1];
D=[0;1;1], C[1;1;0].
Từ đó :
\[\eqalign{ & \overrightarrow {AC'} = [1;1; - 1],\overrightarrow {A'B} = [1;0;1] \cr & \Rightarrow \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {A'B} = 0 \Rightarrow AC' \bot A'B. \cr} \]
LG b
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, DD. Chứng minh AC vuông góc với mặt phẳng [MNP].
Lời giải chi tiết:
Ta có
\[\eqalign{ & M = \left[ {{1 \over 2};0;0} \right],N = \left[ {1;{1 \over 2};1} \right],P = \left[ {0;1;{1 \over 2}} \right]. \cr & \overrightarrow {MN} = \left[ {{1 \over 2};{1 \over 2};1} \right] \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AC'} = 0 \cr&\Rightarrow MN \bot AC'. \cr & \overrightarrow {MP} = \left[ { - {1 \over 2};1;{1 \over 2}} \right] \Rightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {AC'} = 0 \cr&\Rightarrow MP \bot AC'. \cr & \cr} \]
Vậy \[AC' \bot mp[MNP].\]
LG c
Tính thể tích tứ diện AMNP.
Lời giải chi tiết:
Ta có : \[\eqalign{ & \overrightarrow {MA} = \left[ { - {1 \over 2};0;1} \right]. \cr & \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left[ {\left| \matrix{ {1 \over 2} \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 1 \hfill \cr {1 \over 2} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 1 \hfill \cr {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {1 \over 2} \hfill \cr - {1 \over 2} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ {1 \over 2} \hfill \cr - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {1 \over 2} \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right|} \right] \cr&= \left[ { - {3 \over 4}; - {3 \over 4};{3 \over 4}} \right] \cr & \Rightarrow {V_{AMNP}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right].\overrightarrow {MA} } \right| \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {1 \over 6}.\left| {{9 \over 8}} \right| = {3 \over {16}}. \cr} \]