Các dạng bài tập về bất phương trình logarit
|
Với Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Bất phương trình logarit từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12. Show
Dạng 1. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình lôgarit1. Phương pháp giải Biểu thức loga f(x) xác định khi: + a > 0; a ≠ 1 + f(x) > 0 và f(x) có nghĩa. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Điều kiện xác định của bất phương trình là
Lời giải: Đáp án: C Bất phương trình xác định khi:
Ví dụ 2. Điều kiện xác định của bất phương trình là
Lời giải: Đáp án: A Bất phương trình xác định khi:
Ví dụ 3. Điều kiện xác định của bất phương trình là
Lời giải: Đáp án: D Bất phương trình xác định khi:
Dạng 2. Giải bất phương trình lôgarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số1. Phương pháp giải Cho bất phương trình logax < m với x > 0 (1) + Nếu 0 < a < 1 thì (1) x > am. + Nếu a > 1 thì (1) x < am Chú ý: Kết hợp với điều kiện xác định khi giải bất phương trình. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Giải bất phương trình: log5 (x − 2) + 2log25 x > log53.
Lời giải: Đáp án: C Điều kiện: Với điều kiện trên, bất phương trình trở thành: log5 (x − 2) + log5x > log53 ⇔ log5 ( x − 2).x > log53 ⇔ (x − 2).x > 3 ⇔ x2 − 2x − 3 > 0 Kết hợp với điều kiện ta được, x > 3 Ví dụ 2. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình log2(log4x) ≥ log4(log2x) là:
Lời giải: Đáp án: D BPT
Ví dụ 3. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là:
Lời giải: Đáp án: A BPT
Do đó, x = 0 là nghiệm nguyên nhỏ nhất. Ví dụ 4. Bất phương trình logx(log3(9x − 72)) ≤ 1 có tập nghiệm là:
Lời giải: Đáp án: A + Điều kiện : log3 (9x − 72) > 0 ⇔ 9x − 72 > 1 ⇔ 9x > 73 ⇔ x > log3√73 + Với điều kiện trên ta có : logx(log3(9x − 72)) ≤ 1 ⇔ log3(9x − 72) < x ⇔ 9x − 3x − 72 ≤ 0; (*) Đặt t = 3x ; (t > 0). Khi đó, bất phương trình (*) trở thành : t2 − t − 72 < 0 ⇔ − 8 < t < 9 Kết hợp điều kiện t > 0 nên 0 < t < 9. Suy ra, 0 < 3x < 9 ⇔ x < 2. Kết hợp điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = [log3√73; 2] . Ví dụ 5. Giải bất phương trình
Lời giải: Đáp án: C Điều kiện : x > 0; x ≠ 1; x ≠ 3
Đặt t = log3x thì (*) trở thành: t ( t-1) > 0
Dạng 3. Giải bất phương trình lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Bất phương trình log0,22x − 5log0,2x < −6 có tập nghiệm là:
Lời giải: Đáp án: A Điều kiện: x > 0 Đặt t = log0,2x. Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành: t2 − 5t < − 6 ⇔ t2 − 5t + 6 < 0 hay 2 < t < 3. Khi đó, ta có: 2 < log0,2x < 3 ( thỏa mãn điều kiện). Ví dụ 2. Giải bất phương trình log3(4 . 3x − 1) > 2x − 1 :
Lời giải: Đáp án: A Bất phương trình đã cho luôn xác định với mọi x. Ta có: log3 (4. 3x−1) > 2x − 1 ⇔ 4.3x − 1 > 32x − 1 ⇔ 32x − 4. 3x < 0 (*) Đặt t = 3x ( t > 0). Khi đó, phương trình (*) trở thành: t2 − 4t < 0 ⇔ 0 < t < 4 suy ra, 0 < 3x < 4 ⇔ x < log34 Ví dụ 3. Nếu đặt t =log2x thì bất phương trình trở thành bất phương trình nào?
Lời giải: Đáp án: D Điều kiện: x > 0. ⇔ log24x − (−log2x3 + log28)2 + 9(log232 − log2x2) < 4log22x ⇔ log24x − (3log2x − 3)2 + 9(5 − 2log2x) − 4log22x < 0 ⇔ log24x − (9log22x − 18log2x + 9) + 45 − 18log2x − 4log22 < 0 ⇔ log24x − 13log22x + 36 < 0 Đặt t= log2x khi đó phương trình trên trở thành : t4 − 13t2 + 36 < 0 Ví dụ 4. Tập nghiệm của bất phương trình là
Lời giải: Đáp án: A Điều kiện: 0 < x ≠ 1 (*) Ta có:
Đặt t = log5x, khi đó (*) trở thành: 2t2 − t < 0
(thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (1; √5) . Ví dụ 5. Tập nghiệm của bất phương trình là
Lời giải: Đáp án: A Điều kiện: x > 0 (*). Đặt u = log2x => x = 2u Bất phương trình đã cho trở thành
- Với u > 1 => log2x > 1 => x > 2 - Với u < −1 => log2x < − Kết hợp điều kiện (*), ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là x > 2 hoặc Dạng 4. Giải bất phương trình lôgarit bằng phương pháp đánh giá, tính đơn điệu của hàm số.1. Phương pháp giải
Để giải bất phương trình: A( x) < B(x) ta có thể chứng minh với mọi x < x0 ta có A(x) ≥ B(x) và mọi x ≥ x0 thì A(x)< B(x). Khi đó, nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≥ x0
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng D. Giả sử hàm số y= f(x) đơn điệu trên khoảng D. + Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên D thì f(x) > f(x0 ) ⇔ x > x0. + Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên D thì f(x) > f(x0) ⇔ < x0. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Bất phương trình log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2 có tập nghiệm là:
Lời giải: Đáp án: C * Xét x > 0 => 2x > 20 = 1 => 2x + 1 > 2 Suy ra, log2 (2x +1) > log22 = 1 (1) * Khi x > 0 thì 4x > 40 = 1 => 4x + 2 > 2 + 1= 3 Suy ra, log3 (4x + 2) > log33 = 1 ( 2) * Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: log2 (2x + 1) + log3 ( 4x + 2) > 2 Mà BPT: log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2 nên x > 0 ( loại) . * Xét x ≤ 0
Cộng vế với vế của (3) và (4) ta được: log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2 (tm) Vậy x ≤ 0 hay x ∈ (−∞; 0] Ví dụ 2. Giải bất phương trình: log3 (2x + 1) + x ≤ 2
Lời giải: Đáp án: B Điều kiện: Xét hàm số y = f(x) = log3(2x + 1) + x trên có đạo hàm: Suy ra, hàm số đồng biến trên Khi đó, log3 (2x + 1) + x ≤ 2 ⇔ f(x) ≤ f(1) ⇔ x ≤ 1 Kết hợp với điều kiện , ta có nghiệm của bất phương trình đã cho là Ví dụ 3. Giải bất phương trình log2(3x + 7) + log3(4x + 11) ≥ 7
Lời giải: Đáp án: C Tập xác định D = R. Xét hàm số y = log2(3x + 7) + log3(4x + 11) xác định và liên tục trên R. Đạo hàm Suy ra, hàm số đồng biến trên R. Do đó, bất phương trình đã cho trở thành: f(x) ≥ f(2) = 7 ⇔ x ≥ 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [2; +∞) Ví dụ 4. Giải bất phương trình −log5(3x + 16) − 2x < −6.
Lời giải: Đáp án: A Tập xác định D = R. Đặt f(x) = −log5(3x + 16) − 2x liên tục và xác định trên R. Đạo hàm Do đó, hàm số y= f(x) nghịch biến trên R. Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành; f(x) < f(2) ⇔ x > 2. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (2; +∞) Dạng 5. Bất phương trình logarit có chứa tham số m2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình vô nghiệm?
Lời giải: Đáp án: D
Để bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình: x2 − mx + 4 ≤ 0 vô nghiệm ⇔ x2 − mx + 4 > 0 ∀x ∈ R ⇔ Δ = m2 − 16 < 0 ⇔ −4 < m < 4 Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2(5x − 1). log2(2.5x − 2) ≥ m có nghiệm x ≥ 1 ?
Lời giải: Đáp án: C BPT
Đặt do x ≥ 1 => t ∈ [2; +∞) BPT
Với f(t) = t2 + t có f’(t) = 2t + 1 > 0 với t ∈ [2; +∞) nên hàm đồng biến trên t ∈ [2; +∞) Nên min f(t) = f(2) = 6. Do đó để để bất phương trình log2(5x − 1). log2(2.5x − 2) ≥ m có nghiệm x ≥ 1 thì : m ≤ Minf(t) ⇔ m < 6 Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng (2 ; 3) thuộc tập nghiệm của bất phương trình log5 (x2 + 1) > log5 (x2 +4x + m) − 1.
Lời giải: Đáp án: A Ta có: log5 (x2 + 1) > log5 (x2 +4x + m) − 1
Hệ trên thỏa mãn ∀x ∈ (2; 3)
Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2(7x2 + 7) ≥ log2(mx2 + 4x + m), ∀x ∈ R
Lời giải: Đáp án: C Bất phương trình tương đương : 7x2 + 7 ≥ mx2 + 4x + m > 0, ∀x ∈ R Nếu m = 7 thì (2) không thỏa ∀x ∈ R Nếu m =0 thì (3) không thỏa ∀x ∈ R Do đó, để (1) thỏa ∀x ∈ R
Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 1 + log5(x2 + 1) ≥ log5(mx2 + 4x + m) có nghiệm đúng mọi x. |
