- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Cho hàm số
\[f\left[ x \right] = {x^3} - 2{x^2} + mx - 3\]
Tìm m để
LG a
\[f'\left[ x \right]\] bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất;
Lời giải chi tiết:
Với mọi \[x \in R,\] ta có
\[f'\left[ x \right] = 3{x^2} - 4x + m\]
Để \[f'[x]\]bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất ta phải tìm m sao cho \[f'[x]\]phải là tam thức bậc hai\[a{x^2} + bx + c\] với hệ số \[a > 0\] và có nghiệm kép, tức là
\[\left\{ \matrix{a = 3 > 0 \hfill \cr\Delta ' = 4 - 3m = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m = {4 \over 3}\]
LG b
\[f'\left[ x \right] \ge 0\]với mọi x;
Lời giải chi tiết:
Để \[f'\left[ x \right] \ge 0\] với mọi x thì ta phải tìm m sao cho
\[\left\{ \matrix{a = 3 > 0 \hfill \cr\Delta ' = 4 - 3m \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m \ge {4 \over 3}\]
LG c
\[f'\left[ x \right] < 0\]với mọi\[x \in \left[ {0;2} \right]\]
Lời giải chi tiết:
[h.5.4] Để \[f'\left[ x \right] < 0\] với mọi \[x \in \left[ {0;2} \right]\] thì ta phải tìm m sao cho số 0 và số 2 thuộc đoạn \[\left[ {{x_1};{x_2}} \right]\] [\[{x_1}\] và \[{x_2}\] là hai nghiệm của của \[f'[x]\]] tức là
\[\eqalign{& \left\{ \matrix{af'\left[ 0 \right] \le 0 \hfill \cr af'\left[ 2 \right] \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{3.m \le 0 \hfill \cr3\left[ {4 + m} \right] \le 0 \hfill \cr} \right. \cr& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m \le - 4. \cr} \]
LG d
\[f'\left[ x \right] > 0\]với mọi\[x > 0\]
Lời giải chi tiết:
Để \[f'\left[ x \right] > 0\] với mọi \[x > 0\] thì ta phải xét hai trường hợp sau đây
\[ \bullet \] Trường hợp thứ nhất [h.5.5a]
Ta phải tìm \[m\] sao cho tam thức bậc hai \[f'\left[ x \right]\] vô nghiệm và có \[a > 0,\] tức là
\[\left\{ \matrix{a = 3 > 0 \hfill \cr\Delta ' = 4 - 3m < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m > {4 \over 3}.\]
\[ \bullet \] Trường hợp thứ hai [h.5.5b]
Ta phải tìm \[m\] sao cho tam thức bậc hai \[f'\left[ x \right]\] có \[a > 0\] đồng thời có hai nghiệm \[{x_1}\] và \[{x_2}\] thỏa mãn các điều kiện \[{x_1} \le {x_2} \le 0\], tức là
\[\left\{ \matrix{a = 3 > 0 \hfill \cr\Delta ' = 4 - 3m \ge 0 \hfill \cr af'\left[ 0 \right] = 3m \ge 0 \hfill \cr{S \over 2} - 0 = {2 \over 3} \le 0\,\,\,\,\,\,\left[ \text{ loại } \right] \hfill \cr} \right.\]
Hệ vô nghiệm.
Chú ý. Về nguyên tắc phải xét hai trường hợp, dù trong bài này trường hợp thứ hai vô nghiệm.