Đề bài - bài 42 trang 62 sbt hình học 12 nâng cao

Đề bài

Cho hình nón đỉnhS, đường caoSO. GọiAvàBlà hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từOdếnABbằngavà \(\widehat {SAO}\) = 300, \(\widehat {SAB}\) = 600. Tính diện tích xung quanh hình nón.

Lời giải chi tiết

Gọi \(I\) là trung điểm củaABthì \(OI \bot AB,SI \bot AB,OI = a.\) Ta có

\(AO = SA\cos \) \(\widehat {SAO} ={{\sqrt 3 } \over 2}SA.\)

\(AI = SA\cos \) \(\widehat {SAI} ={1 \over 2}SA.\)

Từ đó \({{AI} \over {AO}} = {1 \over {\sqrt 3 }}.\) Mặt khác \({{AI} \over {AO}} = \cos \widehat {IAO}\)

\( \Rightarrow \sin \widehat {IAO} ={{\sqrt 6 } \over 3} = {a \over {OA}}.\)

Vậy \(OA = {{3a} \over {\sqrt 6 }} = {{a\sqrt 6 } \over 2}.\)

Xét tam giácSAO, ta có \(SA = {{OA} \over {\cos {{30}^0}}} = {{a\sqrt 6 } \over 2}.{2 \over {\sqrt 3 }} = a\sqrt 2 .\)

Từ đó diện tích xung quanh của hình nón đã cho là

\({S_{xq}} = \pi .OA.SA = \pi .{{a\sqrt 6 } \over 2}.a\sqrt 2 = \pi {a^2}\sqrt 3 .\)