Đề bài
Tứ giác \[ABCD\] có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi \[E, F, G, H\] theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \[AB, BC, CD, DA\]. Tứ giác \[EFGH\] là hình gì ? Vì sao ?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng:
+] Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
+] Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật:Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
Lời giải chi tiết
Vì \[E,F\] lần lượt là trung điểm của \[AB,BC\] [giả thiết]
\[ \Rightarrow \] \[EF\] là đường trung bình của \[ABC\] [dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác]
\[ \Rightarrow \]\[EF // AC\] và \[EF=\dfrac{AC}2\] [1] [tính chất đường trung bình của tam giác]
Do \[G,H\] lần lượt là trung điểm của \[CD,DA\] [giả thiết]
\[ \Rightarrow \] \[ HG\] là đường trung bình của \[ADC\][dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác]
\[ \Rightarrow \]\[HG // AC\] và \[HG=\dfrac{AC}2\] [2][tính chất đường trung bình của tam giác]
Từ [1] và [2]\[ \Rightarrow \] \[EF // HG\] và \[EF=HG\,[=\dfrac{AC}2]\]
\[ \Rightarrow \]\[EFGH\] là hình bình hành [dấu hiệu nhận biết hình bình hành]
Vì \[E,H\] lần lượt là trung điểm của \[AB,AD\] [giả thiết]
\[ \Rightarrow \] \[EH\] là đường trung bình của \[ABD\] [dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác]
\[ \Rightarrow \]\[EH // BD\] [tính chất đường trung bình của tam giác]
Ta có: \[EF // AC\] và \[EH//BD\] mà \[AC\bot BD\] nên \[EF\bot EH\]
Hay\[\widehat{FEH} = 90^0\]
Hình bình hành \[EFGH\] có\[\widehat{E} = 90^0\]nên là hình chữ nhật [theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật].