Đề bài
Cho điểm \[M\] nằm trong đường tròn \[[O]\] ngoại tiếp tam giác \[ABC\]. Kẻ các đường thẳng \[MA, MB, MC,\] chúng cắt lại đường tròn đó lần lượt ở \[A, B, C\]. Chứng minh rằng:
\[\dfrac{{{S_{A'B'C'}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{{{[{R^2} - M{O^2}]}^3}}}{{{{[MA.MB.MC]}^2}}}\].
Lời giải chi tiết
[h.76].
\[\begin{array}{l}{S_{A'B'C'}} = \dfrac{{A'B'.B'C'.C'A'}}{{4R}}.\\{S_{ABC}} = \dfrac{{AB.BC.CA}}{{4R}}.\end{array}\]
Suy ra \[\dfrac{{{S_{A'B'C'}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{A'B'.B'C'.C'A'}}{{AB.BC.CA}}\] [*]
Ta lại có
\[\Delta MAB \sim \Delta MB'A'\] nên \[\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{MA'}}{{MB}} = \dfrac{{MA.MA'}}{{MA.MB}}\].
Do \[MA.MA' = |{\wp _{M/[O]}}| = {R^2} - M{O^2}\] nên \[\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{{R^2} - M{O^2}}}{{MA.MB}}\].
Tương tự
\[\dfrac{{B'C'}}{{BC}} = \dfrac{{{R^2} - M{O^2}}}{{MB.MC}} ;\] \[ \dfrac{{C'A'}}{{CA}} = \dfrac{{{R^2} - M{O^2}}}{{MC.MA}}\] [**]
Thay [**] vào [*] ta được điều phải chứng minh.