Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], \[AB = 6cm\], \[AC = 8cm.\]
a] Tính \[BC,\widehat B,\widehat C\];
b]Phân giác của góc \[A\] cắt \[BC\] tại \[D\]. Tính \[BD, CD\].
c]Từ \[D\] kẻ \[DE\] và \[DF\] lần lượt vuông góc với \[AB\] và \[AC\]. Tứ giác \[AEDF\] là hình gì? Tính chu vi và diện tích của tứ giác \[AEDF\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Áp dụng định lí Py-ta-go và tỉ số lượng giác.
b] Vận dụng tính chất đường phân giác tìm độ dài cạnh BD.
c] Áp dụng dấu hiệu nhận biết các hình tứ giác đã học.
Tính chu vi và diện tích của tứ giác.
Lời giải chi tiết
a]Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \[ABC\], ta có:
\[\eqalign{
& B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} \cr
& = 36 + 64 = 100\,[cm] \cr} \]
Suy ra: \[BC = \sqrt {100} = 10\,[cm]\]
Xét tam giác vuông ABC, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có: \[\sin C =\displaystyle {{AB} \over {AC}} = {6 \over {10}} = 0,6\]
Suy ra: \[\widehat C = 36^\circ 52'\]
Ta có: \[\widehat B + \widehat C = 90^\circ \] [vì tam giác ABC vuông tại A]
\[ \Rightarrow \widehat B = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 36^\circ 52'\]\[ = 53^\circ 8'\]
b] Vì AD là đường phân giác của tam giác ABC, nên:
\[\displaystyle{{BD} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\] [tính chất đường phân giác]
Suy ra: \[\displaystyle{{BD} \over {BD + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\]
\[\Rightarrow \displaystyle{{BD} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\]
Suy ra: \[BD = \displaystyle{{BC.AB} \over {AB+AC}} = {\displaystyle{10.6} \over {6+8}} = {{30} \over 7}\,[cm]\]
\[DC=BC-BD\]\[=10-\dfrac{30}{7}\]\[=\dfrac{40}{7}\]
c] Ta có:\[\widehat A = \widehat {AED} = \widehat {AFD} = {90^0}\]
Suy ra tứ giác \[AEDF\] có ba góc vuông nên hình đó là hình chữ nhật.
Mặt khác, \[D\] nằm trên tia phân giác của góc \[A\] nên \[DE=DF\] [tính chất tia phân giác của 1 góc]
Vậy tứ giác \[AEDF\] là hình vuông.
Vì \[DE AB, AC AB\] nên \[DE // AC\]
Theo định lí Ta-lét trong tam giác BAC, ta có:
\[\begin{array}{l}
\dfrac{{CD}}{{BC}} = \dfrac{{AE}}{{AB}}\\
\Rightarrow AE = \dfrac{{CD.AB}}{{BC}} = \dfrac{{\dfrac{{40}}{7}.6}}{{10}} = \dfrac{{24}}{7}
\end{array}\]
Chu vi tứ giác \[AEDF\] bằng: \[4AE = 4.\displaystyle{{24} \over 7} = {{96} \over 7}\,[cm]\]
Diện tích tứ giác \[AEDF\] bằng:\[A{E^2} = \displaystyle{\left[ {{{24} \over 7}} \right]^2} = {{576} \over {49}}\,\left[ {c{m^2}} \right]\]