Đề bài
Chứng minh rằng, nếu a > 0 và b > 0 thì \[{1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Biến đổi tương đường đưa về một bđt luôn đúng suy ra đpcm.
Lời giải chi tiết
Với \[a > 0, b > 0\], ta có:
\[\eqalign{
& {1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}} \cr &\Leftrightarrow {{a + b} \over {ab}} \ge {4 \over {a + b}} \cr&\Leftrightarrow {[a + b]^2} \ge 4ab \cr
& \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} \ge 4ab \cr &\Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0\cr &\Leftrightarrow {[a - b]^2} \ge 0 \cr} \]
Ta thấy điều này luôn đúng
Vậy \[{1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\]
Đẳng thức xảy ra khi \[a = b\].
Cách khác:
Áp dụng bđt Cô si ta có:
\[\begin{array}{l}
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt {\frac{1}{a}.\frac{1}{b}} = \frac{2}{{\sqrt {ab} }}\\
a + b \ge 2\sqrt {ab} \\
\Rightarrow \left[ {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right]\left[ {a + b} \right]\\
\ge \frac{2}{{\sqrt {ab} }}.2\sqrt {ab} = 4\\
\Rightarrow \left[ {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right]\left[ {a + b} \right] \ge 4\\
\Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}
\end{array}\]