Mặt tròn xoay là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình toán học Trung học phổ thông. Chuyên đề này bao gồm nhiều kiến thức như định nghĩa, khái niệm, tính chất và công thức Để giải dạng bài tập này, các em học sinh cần nắm vững lí thuyết và thành thạo các dạng bài tập. Dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu cụ thể về chuyên đề này nhé!
Mặt tròn xoay là gì?
Mặt tròn xoay là một bề mặt trong không gian Eclid, được tạo ra bằng cách quay một đường cong xung quanh một trục cố định.Ví dụ các mặt tròn xoay được tạo từ một đường thẳng như hình nón, hình trụ, hình cầu.
Lý thuyết mặt tròn xoay toán học lớp 12
Trong không gian cho mặt phẳng \[[P]\] chứa đường thẳng \[[\Delta]\] và đường thẳng \[[C]\] nằm trong \[[P]\]. Quay mặt phẳng \[[P]\] quanh\[[\Delta]\] một góc \[360^{\circ}\] thì đường thẳng \[[C]\] tạo nên một hình. Đó chính là mặt tròn xoay
\[[C]\] được gọi là đường sinh của mặt tròn xoay.
\[[\Delta]\] được gọi là trục của mặt tròn xoay.
Hình ảnh mặt tròn xoay thông dụng và được nghiên cứu cũng như có nhiều dạng bài tập nhất đó là mặt nón tròn xoay [hay mặt nón].
Mặt nón tròn xoay
Mặt nón tròn xoay là gì?
Trong mặt phẳng [P], cho hai đường thẳng d và d cắt nhau tại O và tạo thành góc \[\alpha\].
Khi quay mặt phẳng [P] xung quanh d thì d sinh ra một mặt, đó chính là mặt nón tròn xoay.
O được gọi là đỉnh của mặt nón, d là trục, d là đường sinh, góc \[2\alpha\] được gọi là góc ở đỉnh của mặt nón.
Hình nón tròn xoay
Cho \[\bigtriangleup AOB\], \[\widehat{AOB} = 90^{\circ}\]. Khi ta quay \[\bigtriangleup\] quanh trục OA thì đường gấp khúc AOB tạo thành hình nón tròn xoay
Hình tròn [O;OB] là mặt đáy của hình nón
A là đỉnh của hình nón
AB được gọi là đường sinh của hình nón.
Nhận xét: Thiết diện của hình nón và mặt phẳng qua đỉnh của hình nón là một tam giác cân tại đỉnh mặt nón.
- \[\forall M \epsilon C[O,R];SM=1\]: cách xác định đường sinh của hình nón
Khối nón tròn xoay [khối nón]
Khối tròn xoay là phần không gian giới hạn bởi hình nón, kể cả hình nón đó.
Một số tính chất mặt tròn xoay
*Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
- Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh thì Thiết diện là tam giác cân
- Trường hợp mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh thì gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.
*Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi một mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
- Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón Suy ra: giao tuyến là một đường tròn.
- Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón Suy ra: giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.
Công thức mặt tròn xoay
Công thức tính diện tích mặt tròn xoay
- Nếu một đường cong xác định bằng phương trình tham số x[t], y[t], t xác định trên [a,b]:
Trục tròn xoay là trục x, diện tích mặt tròn xoay được tính bằng công thức:
\[S_{x}=2\pi\int_{a}^{b}y[t]\sqrt{[\frac{dx}{dt}]^{2}+[\frac{dy}{dt}]^{2}}dt\]
Trục tròn xoay là trục y, diện tích mặt tròn xoay được tính bằng công thức:
\[S_{y}=2\pi\int_{a}^{b}x[t]\sqrt{[\frac{dx}{dt}]^{2}+[\frac{dy}{dt}]^{2}}dt\]
- Nếu đường cong được miêu tả bằng hàm \[y=f[x], a\leq x\leq b\], thì tích phân trở thành:
Trục tròn xoay là trục x:
\[A_{x}=2\pi\int_{a}^{b}y\sqrt{1+[\frac{dy}{dx}]^{2}}dx=2\pi\int_{a}^{b}f[x]\sqrt{1+[f'[x]]^{2}}dx\]
Trục tròn xoay là trục y [\[a\leq y\leq b\]]:
\[A_{y}=2\pi\int_{a}^{b}x\sqrt{1+[\frac{dx}{dy}]^{2}}dy[latex]
Công thức tính thể tích mặt tròn xoay
Quay quanh trục Ox
[latex]V_{x}=\pi\int_{a}^{b}f^{2}[x]dx\].
Quay quanh trục Oy
\[V_{y}=2\pi\int_{a}^{b}x f[x]dx\]
Ứng dụng của mặt tròn xoay
Mặt tròn xoay và các tính chất của nó được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như Vật lý, toán học, kỹ thuật và xây dựng,.. Khi một đối tượng hình học được thiết kế bằng máy tính, từ các mặt tròn xoay có thể xác định được diện tích bề mặt mà không cần sử dụng đến đo độ dài và bán kính của vật được thiết kế.
Trên đây là những kiến thức cần thiết và hữu ích cho các em học sinh ôn tập chương trình toán học trung học phổ thông. Nếu có đóng góp gì hay còn câu hỏi nào liên quan định nghĩa, công thức, tính chất và ứng dụng của mặt tròn xoay, bạn hãy để lại nhận xét bên dưới để chúng mình cùng trao đổi thêm nhé!