- LG a
- LG b
Cho hai đường thẳng
\[{d_1}: 2x - y - 2 = 0 ,\]
\[{d_2}: x + y + 3 = 0\] và điểm \[M[3 ; 0].\]
LG a
Tìm tọa độ giao điểm của \[d_1\]và \[d_2\].
Lời giải chi tiết:
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \[d_1, d_2\]là nghiệm của hệ
\[\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 2 = 0 \\ x + y + 3 = 0\end{array} \right.\]
Giải hệ ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1}}{3}\\y = - \dfrac{8}{3}\end{array} \right.\]
LG b
Viết phương trình đường thẳng \[\Delta \] đi qua \[M\] , cắt \[d_1\]và \[d_2\]lần lượt tại điểm \[A\] và \[B\] sao cho \[M\] là trung điểm của đoạn thẳng \[AB.\]
Lời giải chi tiết:
[h.96].
Cách 1:
\[A[{x_A} ; {y_A}] \in {d_1} \Rightarrow {y_A} = 2{x_A} - 2 ;\] \[ B[{x_B} ; {y_B}] \in {d_2} \Rightarrow {y_B} = - {x_B} - 3\].
Vì \[M\] là trung điểm của \[AB\] nên
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = 2{y_M} \end{array} \right. \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 6\\2{x_A} - 2 - {x_B} - 3 = 0\end{array} \right. \\ \Rightarrow {x_A} = \dfrac{{11}}{3} \Rightarrow {y_A} = \dfrac{{16}}{3}.\end{array}\]
Vậy \[A\left[ { \dfrac{{11}}{3} ; \dfrac{{16}}{3}} \right]\].
Đường thẳng \[MA\] trùng với đường thẳng \[\Delta \]. Từ đó ta tìm được phương trình của \[\Delta \] là \[8x-y-24=0.\]
Cách 2:
Dễ thấy đường thẳng \[\Delta \] cần tìm không vuông góc với \[Ox\]. Gọi k là hệ số góc của \[\Delta \] thì phương trình của \[\Delta \] có dạng: \[y=k[x-3].\]
Gọi \[A = \Delta \cap {d_1} , B = \Delta \cap {d_2}\]. Khi đó hoành độ của A là nghiệm của phương trình :\[2x - 2 = k[x - 3]\].
Suy ra \[{x_A} = \dfrac{{3k - 2}}{{k - 2}} [k \ne 2\] vì nếu \[k=2\] thì phương trình \[2x - 2 = k[x - 3]\] vô nghiệm].
Hoành độ của \[B\] là nghiệm của phương trình \[ - x - 3 = k[x - 3]\].
Suy ra \[{x_B} = \dfrac{{3k - 3}}{{k + 1}} [k \ne - 1\] vì nếu \[k=-1\] thì phương trình \[ - x - 3 = k[x - 3]\] vô nghiệm]. Từ giả thiết \[M\] là trung điểm của \[AB\] suy ra:
\[{x_A} + {x_B} = 2{x_M} \]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{{3k - 2}}{{k - 2}} + \dfrac{{3k - 3}}{{k + 1}} = 6 \Leftrightarrow k = 8\].
Vậy phương trình của \[\Delta \] là \[y=8[x-3]\] hay \[8x-y-24=0.\]