- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải các phương trình và bất phương trình sau
LG a
\[|{{{x^2} - 2} \over {x + 1}}|\, = 2\]
Phương pháp giải:
Giải phương trình
\[\left| f \right| = a\left[ {a > 0} \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f = a\\
f = - a
\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x - 1
Ta có:
\[\eqalign{
& |{{{x^2} - 2} \over {x + 1}}|\, = 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{{{x^2} - 2} \over {x + 1}} = 2 \hfill \cr
{{{x^2} - 2} \over {x + 1}} = - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2 = 2\left[ {x + 1} \right]\\
{x^2} - 2 = - 2\left[ {x + 1} \right]
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2 = 2x + 2\\
{x^2} - 2 = - 2x - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2x - 4 = 0\\
{x^2} + 2x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 \pm \sqrt 5 \\
x = 0,x = - 2
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy \[S = {\rm{\{ }}1 \pm \sqrt 5 ;\,0;\,2\} \]
LG b
\[|{{3x + 4} \over {x - 2}}|\, \le 3\]
Phương pháp giải:
Nhân chéo và bình phương hai vế.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x 2
Ta có:
\[\eqalign{
& |{{3x + 4} \over {x - 2}}|\, \le 3 \Leftrightarrow |3x + 4|\, \le \,3|x - 2| \cr} \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left[ {3x + 4} \right]^2} \le 9{\left[ {x - 2} \right]^2}\\
\Leftrightarrow 9{x^2} + 24x + 16 \le 9{x^2} - 36x + 36\\
\Leftrightarrow 60x - 20 \le 0\\
\Leftrightarrow x \le \frac{1}{3}
\end{array}\]
Vậy \[S = [ - \infty ,{1 \over 3}{\rm{]}}\].
Cách khác:
LG c
\[|{{2x - 3} \over {x - 3}}|\,\, \ge 1\]
Phương pháp giải:
Nhân chéo và bình phương hai vế.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x 3
Ta có:
\[\eqalign{
& |{{2x - 3} \over {x - 3}}|\,\, \ge 1\, \Leftrightarrow \,|2x - 3|\, \ge \,|x - 3| \cr} \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left[ {2x - 3} \right]^2} \ge {\left[ {x - 3} \right]^2}\\
\Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 9 \ge {x^2} - 6x + 9\\
\Leftrightarrow 3{x^2} - 6x \ge 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
x \le 0
\end{array} \right.
\end{array}\]
Kết hợp \[x\ne 3\] ta được tập nghiệm \[S = [-, 0] [2, 3] [3, +]\].
LG d
\[|2x + 3| = |4 3x|\]
Phương pháp giải:
Phương trình
\[\left| f \right| = \left| g \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f = g\\
f = - g
\end{array} \right.\]
Hoặc \[\left| f \right| = \left| g \right| \Leftrightarrow {f^2} = {g^2}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[|2x + 3|\, = \,|4 - 3x|\] \[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x + 3 = 4 - 3x \hfill \cr
2x + 3 = 3x - 4 \hfill \cr} \right. \]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
5x = 1\\
- x = - 7
\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {1 \over 5} \hfill \cr
x = 7 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[S = {\rm{\{ }}{1 \over 5},7\} \].
Cách khác:
\[\begin{array}{l}
\left| {2x + 3} \right| = \left| {4 - 3x} \right|\\
\Leftrightarrow {\left[ {2x + 3} \right]^2} = {\left[ {4 - 3x} \right]^2}\\
\Leftrightarrow 4{x^2} + 12x + 9 = 16 - 24x + 9{x^2}\\
\Leftrightarrow - 5{x^2} + 36x - 7 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{5}\\
x = 7
\end{array} \right.
\end{array}\]