Đề bài
Cho hình thang vuông \[ABCD\] \[[\widehat A = \widehat D = 90^\circ ],\] \[AB = 4cm,\] \[BC = 13cm,\] \[CD = 9cm.\]
\[a]\] Tính độ dài \[AD.\]
\[b]\] Chứng minh rằng đường thẳng \[AD\] tiếp xúc với đường tròn có đường kính là \[BC.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dung kiến thức:
+] Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
+] Sử dụng định lí Py-ta-go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
+] Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
+] Nếu \[d=R\] thì đường thẳng \[a\] và đường tròn \[[O]\] tiếp xúc nhau [với\[d\] là khoảng cách từ \[O\] đến đường thẳng \[a\]]
Lời giải chi tiết
\[a]\] Kẻ \[BE CD\] tại \[E\]
Suy ra tứ giác \[ABED\] là hình hình chữ nhật [vì có ba góc vuông\[\widehat A = \widehat D = \widehat E = {90^0}\]]
Suy ra \[AD = BE\], \[DE =AB = 4 [cm]\]
Suy ra: \[CE = CD DE = 9 4 = 5 [cm]\]
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \[BCE\] ta có:
\[B{C^2} = B{E^2} + C{E^2}\]
Suy ra: \[B{E^2} = B{C^2} - C{E^2} \]\[= {13^2} - {5^2} = 144\]
\[BE = 12 [cm]\]
Vậy: \[AD = 12 [cm]\]
\[b]\] Gọi \[I\] là trung điểm của \[BC\]
Ta có: \[IB = IC = \displaystyle {1 \over 2}BC \]\[= \displaystyle{1 \over 2}.13 = 6,5 [cm]\] \[[1]\]
Kẻ \[IH AD.\]
Xét hình thang ABCD ta có: \[IH//AB//CD\] [cùng vuông góc với AD], mà I là trung điểm BC nên H là trung điểm AD.
Khi đó \[HI\] là đường trung bình của hình thang \[ABCD.\]
Ta có: \[HI = \displaystyle{{AB + CD} \over 2} \]\[= \displaystyle{{4 + 9} \over 2} = 6,5 [cm]\] \[[2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra: \[IH=IB=\displaystyle {1 \over 2}BC \]
Vậy đường tròn \[\left[ {I;\displaystyle{{BC} \over 2}} \right]\] tiếp xúc với đường thẳng \[AD.\]