Đề bài - bài 4 trang 81 sgk hình học 12 nâng cao

Đề bài

Biết \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 2\,;\,\left| {\overrightarrow v } \right| = 5\), góc giữa vectơ \(\overrightarrow u \)và \(\overrightarrow v \)bằng \({{2\pi } \over 3}\). Tìm k để vectơ \(\overrightarrow p = k\overrightarrow u + 17\overrightarrow v \)vuông góc với vectơ \(\overrightarrow q = 3\overrightarrow u - \overrightarrow v \).

Lời giải chi tiết

Ta có

\(\eqalign{
& \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \cos {{2\pi } \over 3} = - {1 \over 2}\cr &\Rightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) \cr &= 2.5.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 5\cr &\overrightarrow p \bot \overrightarrow q \Leftrightarrow\overrightarrow p .\overrightarrow q = 0\cr & \Leftrightarrow \left( {k\overrightarrow u + 17\overrightarrow v } \right)\left( {3\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3k{\left| {\overrightarrow u } \right|^2} - 17{\left| {\overrightarrow v } \right|^2} + \left( {51 - k} \right)\overrightarrow u .\overrightarrow v = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3k.4 - 17.25 + \left( {51 - k} \right).(-5) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 17k - 680 = 0 \cr
& \Leftrightarrow k = 40 \cr} \)

Vậy với k = 40 thì \(\overrightarrow p \bot \overrightarrow q \)