Đề bài
Tứ giác \[ABCD\] có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi \[E, F, G, H\] theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \[AB, BC, CD, DA\]. Tứ giác \[EFGH\] là hình gì ? Vì sao ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng:
+] Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
+] Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật:Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
Lời giải chi tiết
\[ABC\] có \[EA=EB\] và \[FB=FC\] nên \[EF // AC\] [1]
Chứng minh tương tự \[HG // AC\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[EF // HG\].
Chứng minh tương tự \[EH// GF\]
Tứ giác\[EFGH\] có \[EF // HG\] và\[EH// GF\] nênlà hình bình hành.
Ta lại có \[BD \bot EF\] vì \[BD\bot AC\] và \[EF//AC\],
\[EF\bot EH\] vì \[EF\bot BD\] [chứng minh trên] và \[EH// BD\].
Hình bình hành\[EFGH\] có\[\widehat E = {90^o}\] nên là hình chữ nhật.
Giải thích thêm:\[EH// GF\]
Vì \[E,H\] lần lượt là trung điểm của \[AB,AD\] [giả thiết]
\[ \Rightarrow \] \[EH\] là đường trung bình của \[ABD\]
\[ \Rightarrow \]\[EH // BD\]
Do \[G,F\] lần lượt là trung điểm của \[CD,BC\]
\[ \Rightarrow \] \[ GF\] là đường trung bình của \[BDC\]
\[ \Rightarrow \]\[GF // BD\]
\[ \Rightarrow \]\[GF // EH\] [vì cùng song song với \[BD\].