Đề bài
Cho hình chữ nhật \[ABCD\] có \[AB = 2AD\]. Gọi \[E, F\] theo thứ tự là trung điểm của \[AB, CD\]. Gọi \[M\] là giao điểm của \[AF\] và \[DE\], \[N\] là giao điểm của \[BF\] và \[CE\].
a] Tứ giác \[ADFE\] là hình gì? Vì sao?
b] Tứ giác \[EMFN\] là hình gì? Vì sao?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng dấu hiệu nhận biết:
- Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành,
- Tứ giác có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành,
- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật,
- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
Lời giải chi tiết
Vì \[ABCD\] là hình chữ nhật nên \[AB=CD,AD=BC, AB//CD\]
Lại có \[E, F\] theo thứ tự là trung điểm của \[AB, CD\] nên \[AE=EB=\dfrac{AB}2\],\[DF=FC=\dfrac{DC}2\]
Lại có \[AB=2AD\]
Suy ra \[AE = EB = BC = CF = FD = DA\]
a] Xét tứ giác \[ADFE\] có:
\[AE // DF\] [do \[AB//CD\]], \[AE = DF\] [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow \]Tứ giác \[ADFE\] là hình bình hành [dấu hiệu nhận biết hình bình hành]
Hình bình hành \[ADFE\] có\[\widehat{A} = 90^0\]nên là hình chữ nhật[dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật ]
Hình chữ nhật \[ADFE\] có \[AE = AD\] [chứng minh trên] nên nó là hình vuông[dấu hiệu nhận biết hình vuông]
b] Xét tứ giác \[DEBF\] có:
\[EB // DF\] [do \[AB//CD\]], \[EB = DF\] [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow \]Tứgiác \[DEBF\]là hình bình hành [dấu hiệu nhận biết hình bình hành].
\[ \Rightarrow \]\[DE // BF\] [tính chất hình bình hành]
Xét tứ giác \[AECF\] có:
\[EA // CF\] [do \[AB//CD\]], \[EA = CF\][chứng minh trên]
\[ \Rightarrow \]Tứgiác \[AECF\]là hình bình hành[dấu hiệu nhận biết hình bình hành].
\[ \Rightarrow \]\[AF // EC\] [tính chấthình bình hành]
Xét tứ giác \[EMFN\] có: \[ME//NF,MF//NE\] [do \[DE // BF,AF//EC \] [chứng minh trên]]
\[ \Rightarrow \]Tứ giác \[EMFN\] là hình bình hành[dấu hiệu nhận biết hình bình hành].
Theo câu a, \[ADFE\] là hình vuông nên \[ME = MF, ME MF\] [tính chất hình vuông]
Hình bình hành \[EMFN\] có\[\widehat{M} = 90^0\]nên là hình chữ nhật, lại có \[ME = MF\] nên là hình vuông [dấu hiệu nhận biết hình vuông]