Đề bài
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho\[{{z - 2} \over {z + 2}}\]có một acgumen bằng\[{\pi \over 3}\]
Lời giải chi tiết
\[{{z - 2} \over {z + 2}} = {{z\overline z - 4 + 2\left[ {z - \overline z} \right]} \over {{{\left| {z + 2} \right|}^2}}}\]có một acgumen bằng\[{\pi \over 3}\]khi và chỉ khi\[z\bar z - 4 + 2\left[ {z - \bar z} \right] = l\left[ {1 + i\sqrt 3 } \right]\], l là số thực dương.
Nếu viết\[z = x + yi\left[ {x,y \in R} \right]\]thì
\[\eqalign{& z\bar z - 4 + 2\left[ {z - \bar z} \right] = {x^2} + {y^2} - 4 + 4yi \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = l + l\sqrt 3 i\left[ { > 0} \right] \cr& \Leftrightarrow 4y = \left[ {{x^2} + {y^2} - 4} \right]\sqrt 3 \cr&\Leftrightarrow {x^2} + {\left[ {y - {2 \over {\sqrt 3 }}} \right]^2} - {{16} \over 3} = 0 \cr} \]
Vậy M chạy trên cung tròn có tâm biểu diễn\[{2 \over {\sqrt 3 }}i\]và có bán kính bằng\[{4 \over {\sqrt 3 }}\]nằm ở phía trên trục thực.
Chú ý: A, A là các điểm theo thứ tự biểu diễn -2. 2 thì điều kiện\[{{z - 2} \over {z + 2}}\]có một acgumen bằng\[{\pi \over 3}\]có nghĩa là góc lượng giác tia đầu MA, tia cuối MA [M là điểm biểu diễn z] bằng\[{\pi \over 3}\]. Suy ra quỹ tích của M là cung tròn chứa góc\[{\pi \over 3}\]căng trên đoạn AA [không kể A, A] [h.4.11]