Video hướng dẫn giải - bài 6 trang 127 sgk giải tích 12
\(\begin{array}{l}\displaystyle\int\limits_0^2 {\dfrac{1}{{{x^2} - 2x - 3}}dx \\= \displaystyle\int\limits_0^2 {\dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}dx} } \\= \displaystyle\int\limits_0^2 {\dfrac{{\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 3} \right)}}{{4\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}dx} \\= \dfrac{1}{4}\displaystyle\int\limits_0^2 {\left[ {\dfrac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \dfrac{{x - 3}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}} \right]dx}\\= \dfrac{1}{4}\displaystyle\int\limits_0^2 {\left( {\dfrac{1}{{x - 3}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\= \left. {\dfrac{1}{4}\left[ {\ln \left| {x - 3} \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right]} \right|_0^2\\= \dfrac{1}{4}\left[ { - \ln 3 - \ln 3} \right] = - \dfrac{1}{2}\ln 3.\end{array}\) Video hướng dẫn giải
Tính: LG a a) \(\displaystyle\int_0^{{\pi \over 2}} {\cos 2x\sin ^2} xdx\) Phương pháp giải: Sử dụng công thức hạ bậc đưa về tích phân các hàm lượng giác cơ bản. Lời giải chi tiết: Ta có: \(\displaystyle \int_0^{{\pi \over 2}} {\cos 2x\sin ^2} xdx \) \( = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos 2x - {{\cos }^2}2x} \right)dx} \) \(\displaystyle = {1 \over 4}\int_0^{{\pi \over 2}} {(2\cos 2x - \cos 4x - 1)dx} \) LG b b) \(\displaystyle\int_{ - 1}^1 {|{2^x}} - {2^{ - x}}|dx\) Phương pháp giải: Xét dấu, phá dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Lời giải chi tiết: Ta có: Xét \({2^x}-{2^{ - x}} 0 x 0\). Ta tách thành tổng của hai tích phân: \(\displaystyle\int_{ - 1}^1 {|{2^x}} - {2^{ - x}}|dx \) \(= \displaystyle\int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{2^x} - {2^{ - x}}} \right|dx} + \displaystyle\int\limits_0^1 {\left| {{2^x} - {2^{ - x}}} \right|dx} \) \(= - \displaystyle\int_{ - 1}^0 ( {2^x} - {2^{ - x}})dx \) \(+ \displaystyle\int_0^1 ( {2^x} - {2^{ - x}})dx\) \( = - \left. {\left( {\dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \dfrac{{{2^{ - x}}}}{{\ln 2}}} \right)\,} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\left( {\dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \dfrac{{{2^{ - x}}}}{{\ln 2}}} \right)\,} \right|_0^1\) \(\begin{array}{l} \(\displaystyle = {1 \over {\ln 2}} \) LG c c) \(\displaystyle\int_1^2 {{{(x + 1)(x + 2)(x + 3)} \over {{x^2}}}} dx\) Phương pháp giải: Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về các hàm đa thức, phân thức cơ bản và tính tích phân. Lời giải chi tiết: Ta có: \(\displaystyle \int_1^2 {{{(x + 1)(x + 2)(x + 3)} \over {{x^2}}}} dx \) \(\displaystyle = \int_1^2 {{{{x^3} + 6{x^2} + 11x + 6} \over {{x^2}}}dx} \) \(\displaystyle = \left[ {{{{x^2}} \over 2} + 6x + 11\ln |x| - {6 \over x}} \right]\left| {_1^2} \right. \) \(\displaystyle = {{21} \over 2} + 11\ln 2 \) LG d d) \(\displaystyle\int_0^2 {{1 \over {{x^2} - 2x - 3}}} dx\) Phương pháp giải: Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về dạng tổng, hiệu hai phân thức đơn giản đã biết cách tính tích phân. Lời giải chi tiết: Ta có: \(\begin{array}{l} LG e e) \(\displaystyle\int_0^{{\pi \over 2}} {{{({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + {\mathop{\rm cosx}\nolimits} )}^2}dx} \) Phương pháp giải: Thu gọn biểu thức \( (\sin x+\cos x)^2\) đưa về các hàm số lượng giác cơ bản. Lời giải chi tiết: Ta có: \(\eqalign{ LG g g) \(\displaystyle\int_0^\pi {{{(x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}})}^2}} dx\) Phương pháp giải: Khai triển biểu thức dưới dấu tích phân, kết hợp với công thức hạ bậc, phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân. Lời giải chi tiết: Ta có: \(\begin{array}{l} Tính \(I = \displaystyle\int\limits_0^\pi {{x^2}dx} = \left. {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^\pi = \dfrac{{{\pi ^3}}}{3}\) Tính :\(J = \int_0^\pi {x\sin xdx} \) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} Suy ra: \(J = \left[ { - x{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right]\left| {_0^\pi } \right. + \displaystyle\int_0^\pi {{\mathop{\rm cosxdx}\nolimits} = \pi + \left[ {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right]} \left| {_0^\pi } \right. = \pi \) Tính K: \(\begin{array}{l} Do đó: \(\eqalign{
|