Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG b
Trong không gian \[Oxyz\] cho bốn điểm \[A[2 ; 4 ; -1], B[1 ; 4 ; -1],\] \[ C[2 ; 4; 3], D[2 ; 2 ; -1]\].
LG a
Chứng minh rằng các đường thẳng \[AB, AC, AD\] vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích khối tứ diện \[ABCD\].
Phương pháp giải:
Ta xét các tích vô hướng \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \]; \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \]; \[\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \]
\[ \Rightarrow {V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}AB.AC.AD\]
Lời giải chi tiết:
a] Ta xét các tích vô hướng \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \]; \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \]; \[\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \]
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = [-1; 0; 0]\], \[\overrightarrow {AC} = [0; 0; 4]\], \[\overrightarrow {AD} = [0; -2; 0]\]
\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = [-1].0 + 0.0 + 0.4 = 0\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \]
Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.
Ta có: \[V_{ABCD}\]=\[{1 \over 6}.AB.AC.AD\]
Mà \[AB = 1; AC = 4; AD = 2\]
\[ \Rightarrow {V_{ABCD}} = {1 \over 6}.1.4.2 = {4 \over 3}\][đvtt]
LG b
Viết phương trình mặt cầu \[[S]\] đi qua bốn điểm \[A, B, C, D\].
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, xác định tâm I và tính bán kính \[R=IA\].
Lời giải chi tiết:
Gọi \[I[a; b; c]\] là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[ABCD\].
\[IA = IB = IC\] \[\Rightarrow I\] nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ACD\]. Tam giác \[ACD\] vuông tại đỉnh \[A\] nên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ACD\] là đường thẳng vuông góc với mp \[[ACD]\] và đi qua trung điểm \[M\] của cạnh huyền \[CD\].
Như vậy \[MI // AB\] [1]
Ta lại có \[IA = IB\]. Gọi \[P\] là trung điểm của \[AB\], ta có:
\[MI = AP\] = \[{1 \over 2}AB\] [2]
Từ [1] và [2], suy ra \[\overrightarrow {MI} = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \]
Với \[C [2; 4; 3], D [2; 2; -1]\] \[\Rightarrow M [2; 3; 1]\]
\[\overrightarrow {MI}= [a - 2; b - 3; c - 1]; \overrightarrow {AB} = [-1; 0; 0] \]
\[\left\{ \matrix{
a - 2 = {1 \over 2}[ - 1] \Rightarrow a = {3 \over 2} \hfill \cr
b - 3 = {1 \over 2}.0 \Rightarrow b = 3 \hfill \cr
c - 1 = {1 \over 2}.0 \Rightarrow c = 1 \hfill \cr} \right.\]
Tâm \[I\] của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[ABCD\] là \[I\]\[\left[ {{3 \over 2};3;1} \right]\]
Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[ABCD\] là \[r\] thì:
\[r^2= IA^2\]=\[{\left[ {2 - {3 \over 2}} \right]^2} + {[4 - 3]^2} + {[ - 1 - 1]^2} = {{21} \over 4}\]
Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[ABCD\]:
\[{\left[ {x - {3 \over 2}} \right]^2} + {[y - 3]^2} + {[z - 1]^2} = {{21} \over 4}\].
Cách khác:
Gọi mặt cầu \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\] đi qua 4 điểm A, B, C, D.
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}4 + 16 + 1 + 4a + 8b - 2c + d = 0\\1 + 16 + 1 + 2a + 8b - 2c + d = 0\\4 + 16 + 9 + 4a + 8b + 6c + d = 0\\4 + 4 + 1 + 4a + 4b - 2c + d = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 8b - 2c + d = - 21\\2a + 8b - 2c + d = - 18\\4a + 8b + 6c + d = - 29\\4a + 4b - 2c + d = - 9\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = - 3\\8b - 2c + d = - 15\\8b + 6c + d = - 23\\4b - 2c + d = - 3\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{3}{2}\\b = - 3\\c = - 1\\d = 7\end{array} \right.\]
Vậy phương trình mặt cầu là: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x - 6y - 2z + 7 = 0\] hay \[{\left[ {x - \dfrac{3}{2}} \right]^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = \dfrac{{21}}{4}\]
LG b
Viết phương trình mặt phẳng \[[α]\] tiếp xúc với mặt cầu \[[S]\] và song song với mặt phẳng \[[ABD]\].
Phương pháp giải:
Xác định VTPT của mặt phẳng \[\alpha\], viết phương trình mặt phẳng\[\alpha\] khi biết VTPT.
\[\alpha\] tiếp xúc với [S]\[ \Leftrightarrow d\left[ {I;\left[ \alpha \right]} \right] = R\] với \[I;R\] lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu [S].
Lời giải chi tiết:
Ta có:\[\displaystyle AC [ABD]\]; \[\displaystyle [α]\]//\[\displaystyle [ABD]\] nên nhận \[\displaystyle \overrightarrow {AC} \]làm vectơ pháp tuyến.
Ta có \[\displaystyle \overrightarrow {AC} = [0; 0; 4]\] nên \[\displaystyle [α]\]:\[\displaystyle z + D = 0\].
Khoảng cách từ tâm \[\displaystyle I\] của mặt cầu đến mặt phẳng \[\displaystyle [α]\] là:
\[\displaystyle d[I,[α]] ={{\left| {1 + D} \right|} \over 1} = \left| {1 + D} \right|\]
Để mặt phẳng \[\displaystyle [α]\] tiếp xúc với mặt cầu, ta cần có:
\[\displaystyle d[I,[α]] = r \Rightarrow \left| {1 + D} \right| = {{\sqrt {21} } \over 2}\]
Ta có hai mặt phẳng:
TH1: \[\displaystyle 1 + D ={{\sqrt {21} } \over 2} \Rightarrow D = {{\sqrt {21} } \over 2} - 1\]
\[\displaystyle \Rightarrow \left[ {{\alpha _1}} \right]:z + {{\sqrt {21} } \over 2} - 1 = 0\]
TH2: \[\displaystyle 1 + D = - {{\sqrt {21} } \over 2} \Rightarrow D = - {{\sqrt {21} } \over 2} - 1 \]
\[\displaystyle \Rightarrow \left[ {{\alpha _2}} \right]:z - {{\sqrt {21} } \over 2} - 1 = 0\]