- LG a
- LG b
- LG c
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào α
LG a
\[\sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 4{{\cos }^2}\alpha } \] \[+ \sqrt {{{\cos }^4}\alpha + 4{{\sin }^2}\alpha } \]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức\[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& \sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 4{{\cos }^2}\alpha } \cr&=\sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 4[1 - {{\sin }^2}\alpha ]} \cr &= \sqrt {{{\sin }^4}\alpha - 4{{\sin }^2}\alpha + 4} \cr &= \sqrt {{{[2 - {{\sin }^2}\alpha ]}^2}} \cr
& = 2 - {\sin ^2}\alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,[{\sin ^2}\alpha \le 1] \cr
& \sqrt {{{\cos }^4}\alpha + 4{{\sin }^2}\alpha } \cr &=\sqrt {{{\cos }^4}\alpha + 4[1 - {{\cos }^2\alpha}]} \cr &= \sqrt {{{\cos }^4}\alpha - 4{{\cos }^2}\alpha + 4} \cr &= \sqrt {{{[2 - {{\cos }^2}\alpha ]}^2}} \cr
& = 2 - {\cos ^2}\alpha \,\,\,\,\,\,\,\,[\cos ^2\alpha \le 1] \cr} \]
Vậy:
\[\sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 4[1 - {{\sin }^2}\alpha ]} \] \[+ \sqrt {{{\cos }^4}\alpha + 4{{\sin }^2}\alpha } \]
\[ = 2 - {\sin ^2}\alpha + 2 - {\cos ^2}\alpha \] \[= 4-[\sin ^2\alpha +\cos ^2\alpha ] =4 - 1= 3\]
LG b
\[2[si{n^6}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^6}\alpha {\rm{ }}]{\rm{ }}-{\rm{ }}3[co{s^4}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}si{n^4}\alpha {\rm{ }}]\]
Phương pháp giải:
Sử dụng các hằng đẳng thức:
\[\begin{array}{l}
{A^3} + {B^3} = {\left[ {A + B} \right]^3} - 3AB\left[ {A + B} \right]\\
{A^2} + {B^2} = {\left[ {A + B} \right]^2} - 2AB
\end{array}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[si{n^6}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^6}\alpha \]
\[ = {\rm{ }}[si{n^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}\alpha ]^3{\rm{ }}\] \[-{\rm{ }}3si{n^2}\alpha co{s^2}\alpha {\rm{ }}[si{n^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}\alpha ]\]
\[ = {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}3si{n^2}\alpha {\rm{ }}co{s^2}\alpha \]
\[co{s^4}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}si{n^4}\alpha {\rm{ }}\] \[ = {\rm{ }}{[co{s^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}si{n^2}\alpha ]^2}-{\rm{ }}2si{n^2}\alpha {\rm{ }}co{s^2}\alpha \]
\[ = {\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}2si{n^2}\alpha {\rm{ }}co{s^2}\alpha \]
Suy ra:
\[\eqalign{
& 2\left[ {{{\sin }^6}\alpha + {{\cos }^6}\alpha } \right] - 3[{\cos ^4}\alpha + {\sin ^4}\alpha ] \cr} \]
\[\begin{array}{l}
= 2\left[ {1 - 3{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha } \right] - 3\left[ {1 - 2{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha } \right]\\
= 2 - 6{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha - 3 + 6{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \\
= 2 - 3 = - 1
\end{array}\]
LG c
\[{2 \over {\tan \alpha - 1}} + {{\cot \alpha + 1} \over {\cot \alpha - 1}}\,\,\,\,[\tan \alpha \ne 1]\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& {2 \over {\tan \alpha - 1}} + {{\cot \alpha + 1} \over {\cot \alpha - 1}}\,\,\,\, \cr&= {2 \over {{1 \over {\cot \alpha }} - 1}} + {{\cot \alpha + 1} \over {\cot \alpha - 1}} \cr
& = \frac{2}{{\frac{{1 - \cot \alpha }}{{\cot \alpha }}}} + \frac{{\cot \alpha + 1}}{{\cot \alpha - 1}}\cr &= {{2\cot \alpha } \over {1 - \cot \alpha }} + {{\cot \alpha + 1} \over {\cot \alpha - 1}}\cr &= \frac{{2\cot \alpha }}{{1 - \cot \alpha }} - \frac{{\cot \alpha + 1}}{{1 - \cot \alpha }} \cr &= \frac{{2\cot \alpha - \cot \alpha - 1}}{{1 - \cot \alpha }}\cr &= {{\cot \alpha - 1} \over {1 - \cot \alpha }} = - 1 \cr} \]