Đề bài
Với giá trị nào của m, bất phương trình:
[m2+ 1]x + m[x + 3] + 1 > 0
nghiệm đúng x [-1; 2] ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm tập nghiệm S của bpt đã cho.
BPT nghiệm đúng với mọi x thuộc [-1;2] nếu \[\left[ { - 1;2} \right] \subset S\].
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\begin{array}{l}\left[ {{m^2} + 1} \right]x + m\left[ {x + 3} \right] + 1 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ {{m^2} + 1} \right]x + mx + 3m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ {{m^2} + m + 1} \right]x > - 3m - 1\\ \Leftrightarrow x > \frac{{ - 3m - 1}}{{{m^2} + m + 1}}\end{array}\]
[Vì \[{m^2} + m + 1 \] \[= {\left[ {m + \frac{1}{2}} \right]^2} + \frac{3}{4} > 0,\forall m\]]
Tập nghiệm của bpt là \[S = \left[ {\frac{{ - 3m - 1}}{{{m^2} + m + 1}}; + \infty } \right]\]
Để bpt nghiệm đúng với mọi \[x \in \left[ { - 1;2} \right]\] thì
\[\begin{array}{l}\left[ { - 1;2} \right] \subset S\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 3m - 1}}{{{m^2} + m + 1}} < - 1\\ \Leftrightarrow - 3m - 1 < - {m^2} - m - 1\\\left[ {Do\,{m^2} + m + 1 > 0} \right]\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m < 0\\ \Leftrightarrow 0 < m < 2\end{array}\]
Cách khác:
Ta có: [m2+1]x + m.[x+3]+ 1> 0
[m2+ 1] x +mx + 3m +1 >0
[m2+1+ m]. x+ 3m + 1 > 0
Đặt y = f[x] = [m2+ m + 1]x+ 3m + 1
Ta coi y =f[x] là hàm số ẩn x và tham số m.
Đồ thị của hàm số y = f[x] là đường thẳng [Dm ].
Gọi Am và Bm là các điểm trên đường thẳng [Dm] có hoành độ theo thứ tự là -1 và 2.
f[x] > 0 với x [-1; 2] khi và chỉ khi đoạn thẳng AmBmnằm phía trên trục hoành. Điều này xảy ra khi và chỉ khi Amvà Bmnằm phía trên trục hoành, tức là:
\[\left\{ \matrix{
f[ - 1] > 0 \hfill \cr
f[2] > 0 \hfill \cr} \right.\]
Mà \[f\left[ { - 1} \right] = \left[ {{m^2} + m + 1} \right].\left[ { - 1} \right] + 3m + 1\]\[ = - {m^2} + 2m\]
\[f\left[ 2 \right] = \left[ {{m^2} + m + 1} \right].2 + 3m + 1\]\[ = 2{m^2} + 5m + 3\]
Nên \[\left\{ \begin{array}{l} - {m^2} + 2m > 0\\2{m^2} + 5m + 3 > 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < m < 2\\\left[ \begin{array}{l}m > - 1\\m < - \frac{3}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 2\]
Vậy \[0 < m < 2\].