Đề bài
Cho hai đường thẳng \[{d_1}:\,\left\{ \matrix{ x = {x_1} + at \hfill \cr y = {y_1} + bt \hfill \cr} \right.\] và \[{d_2}:\,\left\{ \matrix{ x = {x_2} + ct'. \hfill \cr y = {y_2} + dt'. \hfill \cr} \right.\]
[\[x_1, x_2, y_1, y_2\]là các hằng số].
Tìm điều kiện của \[a, b, c, d\] để hai đường thẳng \[d_1\]và \[d_2\] :
a] Cắt nhau;
b] Song song;
c] Trùng nhau;
d] Vuông góc với nhau.
Lời giải chi tiết
\[d_1\]đi qua \[M_1[x_1; y_1]\] và có vec tơ chỉ phương \[\overrightarrow u [a;b]\], \[d_2\]có vec tơ chỉ phương \[\overrightarrow v [c;d]\].
a] \[d_1\]cắt \[d_2\]\[ \Leftrightarrow \overrightarrow u \]và \[\overrightarrow v \] không cùng phương \[ \Leftrightarrow \,\,ad - bc \ne 0\].
b] \[d_1//d_2\]\[ \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v \]cùng phương và \[{M_1}[{x_1};{y_1}] \notin {d_2}\]
\[ \Leftrightarrow ad - bc = 0\] và \[d[{x_1} - {x_2}] \ne c[{y_1} - {y_2}]\].
c] \[{d_1} \equiv {d_2}\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v \] cùng phương và \[{M_1}[{x_1}\,;\,{y_1}] \in {d_2}\]
\[ \Leftrightarrow \,\,ad - bc = 0\] và \[d[{x_1} - {x_2}] = c[{y_1} - {y_2}]\].
d] \[{d_1} \bot {d_2}\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \Leftrightarrow ac + bd = 0\].