Đề bài
Cho đường tròn \[[O]\] và điểm \[A\] cố định trên đường tròn. Gọi \[xy\] là tiếp tuyến với đường tròn tại \[A.\] Từ một điểm \[M\] nằm trên \[xy,\] vẽ tiếp tuyến \[MB\] với đường tròn. Gọi \[H\] là trực tâm của tam giác \[MAB.\]
\[a]\] Chứng minh rằng ba điểm \[M, H, O\] thẳng hàng.
\[b]\] Tứ giác \[AOBH\] là hình gì \[?\]
\[c]\] Khi \[M\] di chuyển trên \[xy\] thì \[H\] di chuyển trên đường nào \[?\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
\[a]\] Để chứng minh \[M, O, H:\]
- Ta chứng minh \[MO \bot AB,\] \[MH\bot AB\]
\[b]\] Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi [hình bình hành có một cặp cạnh bằng nhau là hình thoi] để chứng minh tứ giác \[AOBH\] là hình thoi.
\[c]\] Liên kết các dữ kiện và các phần đã được chứng minh để tìm ra dược \[H\] cách \[A\] một đoạn không đổi, từ đó tìm được quỹ tích của \[M\] khi chuyển động thì \[H\] cũng chuyển động trên đường tròn tâm \[A,\] bán kính không đổi.
Lời giải chi tiết
\[a]\] Vì H là trực tâm của tam giác MAB nên \[MH\bot AB\] [1]
Xét đường tròn [O] có MA và MB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên \[OM\] là phân giác của góc BOA [tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau]
Lại có \[OA=OB\] [= bán kính đường tròn [O]] nên tam giác OAB cân tại O có OM là đường phân giác nên OM cũng là đường cao. Suy ra \[OM \bot AB\] [2]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra \[MH\] và \[MO\] đều vuông góc với AB nên \[M, H, O\] thẳng hàng.
\[b]\] Xét đường tròn [O] có MB, MA là tiếp tuyến nên \[OB\bot MB, OA\bot MA\]
Xét tam giác MAB có H là trực tâm nên \[AH\bot MB,BH\bot MA\]
Tứ giác \[AOBH\] có
\[BH // OA\] [cùng vuông góc với \[MA\]],
\[AH // OB\] [cùng vuông góc với \[MB\]].
Suy ra tứ giác \[AOBH\] là hình bình hành, mà \[OA = OB\] [cmt] nên tứ giác \[AOBH\] là hình thoi.
\[c]\] Ta có \[HA=OA\] [do \[AOBH\] là hình thoi],
Nên \[H\] cách \[A\] cố định một khoảng bằng \[OA\] không đổi.
Như vậy, khi \[M\] chuyển động trên \[xy\] thì H di chuyển trên đường tròn \[[A ; AO].\]