Đề bài
Chứng minh hằng đẳng thức:\[{\left[ {a + b + c} \right]^3} = {a^3} + {b^3} + {c^3} \]\[+ 3\left[ {a + b} \right]\left[ {b + c} \right]\left[ {c + a} \right]\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng hằng đẳng thức:
\[ [A+B]^3=A^3+3A^2.B+3A.B^2+B^3\]
\[ [A+B]^2=A^2+2AB+B^2\]
Lời giải chi tiết
Biến đổi vế trái:\[ {\left[ {a + b + c} \right]^3}= {\left[ {\left[ {a + b} \right] + c} \right]^3} \]
\[= {\left[ {a + b} \right]^3} + 3{\left[ {a + b} \right]^2}c \]\[+ 3\left[ {a + b} \right]{c^2} + {c^3}\]
\[= {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} \]\[+ 3\left[ {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right]c + 3a{c^2} + 3b{c^2} + {c^3}\]
\[= {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} \]\[+ 3{{a^2}c+ 6abc + 3{b^2}}c + 3a{c^2} + 3b{c^2} + {c^3}\]
\[= {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2}\]\[ + 3{a^2}c + 6abc + 3{b^2}c + 3a{c^2} + 3b{c^2}\]
\[= {a^3} + {b^3} + {c^3} + [3{a^2}b + 3a{b^2}]\]\[ + [3{a^2}c + 3abc] + [3abc+3{b^2}c] \]\[+ [3a{c^2} + 3b{c^2}] \]
\[= {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3ab\left[ {a + b} \right] \]\[+ 3ac\left[ {a + b} \right] + 3bc\left[ {a + b} \right] \]\[+ 3{c^2}\left[ {a + b} \right] \]
\[= {a^3} + {b^3} + {c^3} \]\[+ 3\left[ {a + b} \right]\left[ {ab + ac + bc + {c^2}} \right]\]
\[ = {a^3} + {b^3} + {c^3} \]\[+ 3\left[ {a + b} \right]\left[ {a\left[ {b + c} \right] + c\left[ {b + c} \right]} \right] \]
\[= {a^3} + {b^3} + {c^3} \]\[+ 3\left[ {a + b} \right]\left[ {b + c} \right]\left[ {a + c} \right] \]
Vế trái bằng vế phải đẳng thức được chứng minh.