Đề bài
Cho ABC vuông tại A, đường cao AH, biết \[AB = 15cm, BH = 9cm.\]
a. Tính AC, BC và đường cao AH
b. Gọi M là trung điểm của BC. Tính diện tích tam giác AHM.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], đường cao \[AH\], ta có: \[A{B^2} = BH.BC\] và \[A{C^2} = CH.BC\]
Định lý Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Lời giải chi tiết
a. Ta có: ABC vuông tại A, đường cao AH [gt]
\[A{B^2} = BC.BH\] [định lí 1]
\[ \Rightarrow BC = {{A{B^2}} \over {BH}}= {{{{15}^2}} \over 9} = 25\,\left[ {cm} \right]\]
Theo định lí Pi-ta-go \[A{C^2} = B{C^2} - A{B^2}\]
\[ \Rightarrow AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} \]\[\;= \sqrt {{{25}^2} - {{15}^2}} = 20\,\left[ {cm} \right]\]
Lại có: AB.AC = BC.AH [định lí 3]
\[ \Rightarrow AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{15.20} \over {25}} = 12\,\left[ {cm} \right]\]
b. M là trung điểm của BC [giả thiết]
\[ \Rightarrow MB = MC = {{BC} \over 2} = {{25} \over 2} \]\[\:= 12,5\,\left[ {cm} \right] \]
\[\Rightarrow MH = MB - BH = 12,5 - 9\]\[\; = 3,5\,\left[ {cm} \right] \]
Vậy \[{S_{AHM}} = {1 \over 2}MH.AH = {1 \over 2}.3,5.12 \]\[\;= 21\,\left[ {c{m^2}} \right]\]