Phương trình lượng giác cơ mấy dạng

1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Phương pháp chung:

- Bước 1: Biến đổi các phương trình đã cho về dạng tích \(A.B = 0\) hoặc sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, nhân đôi, nhân ba,…

- Bước 2: Giải các phương trình lượng giác cơ bản, tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện (nếu có).

2. Phương trình bậc hai đối với một số hàm số lượng giác

Phương trình dạng \(a{f^2}\left( x \right) + bf\left( x \right) + c = 0\left( {a,b,c \in R;a \ne 0} \right)\), ở đó \(f\left( x \right) = \sin u\left( x \right)\) (hoặc \(\cos u\left( x \right),\tan u\left( x \right),\cot u\left( x \right)\)).

Phương pháp chung:

- Bước 1: Đặt \(t = f\left( x \right)\) và đặt điều kiện cho \(t\).

- Bước 2: Thay \(t\) vào phương trình và giải phương trình bậc hai đối với \(t\), kết hợp điều kiện tìm \(t\).

- Bước 3: Giải phương trình \(f\left( x \right) = t\) tìm \(x\) và kết luận (chú ý kiểm tra điều kiện nếu có của \(x\)).

3. Phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\)

Phương trình dạng: \(a\cos x + b\sin x = c\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\).

Phương pháp chung:

Cách 1: (Thường dùng cho giải phương trình)

- Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).

- Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) thì phương trình có dạng:

\(\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x + \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

- Bước 3: Đặt \(\cos \alpha  = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\sin \alpha  = \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) thì phương trình trở thành \(\cos \left( {x - \alpha } \right) = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

- Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản trên tìm \(x\).

Cách 2: (Thường dùng để giải và biện luận):

- Bước 1: Xét \(x = \pi  + k2\pi  \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) có là nghiệm hay không.

- Bước 2: Xét \(x \ne \pi  + k2\pi  \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) thì đặt \(t = \tan \dfrac{x}{2} \Rightarrow \sin x = \dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}},\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\) ta được phương trình bậc hai theo \(t:\left( {b + c} \right){t^2} - 2at + c - b = 0\).

- Bước 3: Giải phương trình trên tìm \(t \Rightarrow x\) và kiểm tra điều kiện, kết luận nghiệm.

4. Phương trình đẳng cấp đối với \(\sin x\) và \(\cos x\)

Phương trình dạng \({a_0}{\sin ^n}x + {a_1}{\sin ^{n - 1}}x\cos x + ... + {a_{n - 1}}\sin x{\cos ^{n - 1}}x + {a_n}{\cos ^n}x = 0\).

Phương pháp chung:

- Bước 1: Xét \(\cos x = 0 \Rightarrow \sin x = 1\), thay vào phương trình xem có thỏa mãn hay không.

- Bước 2: Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế của phương trình cho \({\cos ^n}x \ne 0\) và đặt \(\tan x = t\).

- Bước 3: Giải phương trình ẩn \(t\) tìm nghiệm \(t\).

- Bước 4: Giải phương trình \(\tan x = t\) tìm nghiệm, kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.

6. Phương trình đối xứng và dạng đối xứng với \(\sin x\) và \(\cos x\)

Phương trình dạng \(a\left( {\sin x + \cos x} \right) + b\sin x\cos x + c = 0\).

Phương pháp chung:

- Bước 1: Đặt \(\sin x + \cos x = t \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

- Bước 2: Thay vào phương trình tìm \(t\).

- Bước 3: Giải phương trình \(\sin x + \cos x = t \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = t\) để tìm \(x\).

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Phương trình lượng giác cơ bản, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Phương trình lượng giác cơ bản: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM. Phương trình sin x = a. Trường hợp g > 1 phương trình vô nghiệm, vì sinx < 1 với mọi x. Trường hợp a 1 phương trình vô nghiệm, vì –1 < cosx < 1 với mọi x. Trường hợp phương trình có nghiệm, cụ thể: Phương trình tan x = a. Phương trình cotx = a. CÁC VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG. Ví dụ 1. Giải các phương trình Lời bình: Những phương trình trên là những phương trình lượng giác cơ bản. Sử dụng MTCT ta có thể tìm được các giá trị đặc biệt của hàm số lượng giác a) sin3x dùng MTCT (ở chế độ rad) ta ấn SHIF sin2 ta được kết quả là 5. Do đó: sin3x. Hoàn toàn tương tự cho câu. Do đó, phương trình tan = 2 ta chỉ có thể ghi = arctan2 + km. Trên MTCT không có hàm cot, tuy nhiên ta thừa biết cot a. Do đó, đối với câu d) tuy nhiên không nên giải theo cách này vì mất đi cái vẻ đẹp của toán học. Lời giải ban đầu sử dụng dụng công thức hạ bậc với các phép biến đổi hết sức đơn giản đưa về phương trình rất đẹp với đáp số. Nhận xét: Phương trình sin 2x = cos3x được chuyển thành cos3x = cos3 – 2x , ta cũng có thể chuyển thành dạng sau: sin 2x = sin23x. Ví dụ 4. Giải và biện luận phương trình sinx = 4m – 1(*). Phương trình (*) vô nghiệm phương trình đã cho có nghiệm x < 0. Ví dụ 6. Giải phương trình. Vậy nghiệm của phương trình là x. Lưu ý: Một số học sinh mắc sai lầm nghiêm trọng (lỗi rất cơ bản) là rút gọn phương trình ban đầu cho sin2x, dẫn đến thiếu nghiệm. b) Định hướng: Cả hai vế phương trình đều cho dưới dạng tích của hai hàm lượng giác. Thông thường ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng. Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài toán.

Câu 21: Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình sin 2x + c trên đường tròn lượng giác. Biểu diễn nghiệm x = -4 + km trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 1). Biểu diễn nghiệm x = 4 + km trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 2). Vậy có tất cả 4 vị trí biểu diễn các nghiệm các nghiệm của phương trình. Số vị trí biểu diễn trên đường tròn. Cách trắc nghiệm. Ta đưa về dạng x = a + b lượng giác là n. Nhận xét. Cách trắc nghiệm tuy nhanh nhưng cẩn thận các vị trí có thể trùng nhau. Câu 22: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau? Xét phương trình hoành độ giao điểm: sin 3x = sinx.