Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Cho tam giác vuông \[OPM\] có cạnh \[OP\] nằm trên trục \[Ox\]. Đặt \[\widehat {POM} = \alpha \]
và \[OM = R\], \[\left[ {0 \le \alpha \le {\pi \over 3},R > 0} \right]\]
Gọi
LG a
a] Tính thể tích của
Phương pháp giải:
Hình phẳng cần tính thể tích được giới hạn bởi đoạn thẳng \[OM, \, \, MP\] và trục hoành.
+] Xác định phương trình đường thẳng \[OM\] và sử dụng công thức tính thể tích để tính thể tích khối tròn xoay
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = OP = R\cos \alpha \\{y_M} = PM = R\sin \alpha \end{array} \right. \]\[\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}R = \dfrac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}\\{y_M} = \dfrac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}.\sin \alpha \end{array} \right. \] \[\Rightarrow {y_M} = x_M \tan \alpha .\]
\[ \Rightarrow \] Điểm \[M\] thuộc đường thẳng \[y=x.\tan \alpha .\]
Mà \[O\] cũng thuộc đường thẳng trên nên phương trình đường thẳng \[OM\] là\[y=x.\tan \alpha .\]
Khi đó thể tích của khối tròn xoay là:
\[\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^{R\cos \alpha } {{x^2}{{\tan }^2}\alpha dx} \\= \left. {\pi {{\tan }^2}\alpha .\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{R\cos \alpha }\\= \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}.{\tan ^2}\alpha .{\cos ^3}\alpha \\= \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}.{\sin ^2}\alpha .\cos \alpha \\ = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}.\cos \alpha \left[ {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right] \\= \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left[ {\cos \alpha - {{\cos }^3}\alpha } \right].\left[ {dvtt} \right].\end{array}\]
Cách khác:
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}OP = R\cos \alpha \\MP = R\sin \alpha \end{array} \right.\]
Khi quay tam giác \[OPM\] quanh trục \[Ox\] ta được khối nón tròn xoay có bán kính đáy \[r = MP = R\sin \alpha \] và chiều cao \[h = OP = R\cos \alpha \]
Thể tích khối nón là:
\[\begin{array}{l}
V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\\
= \frac{1}{3}\pi {\left[ {R\sin \alpha } \right]^2}.R\cos \alpha \\
= \frac{1}{3}\pi {R^3}{\sin ^2}\alpha \cos \alpha \\
= \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left[ {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right]\cos \alpha \\
= \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left[ {\cos \alpha - {{\cos }^3}\alpha } \right]
\end{array}\]
LG b
b] Tìm \[α\] sao cho thể tích
Phương pháp giải:
Tính được thể tích của khối tròn xoay
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số: \[V [\alpha] = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left[ {\cos \alpha - co{s^3}\alpha } \right].\]
Đặt \[ t = \cos \alpha .\]
Với \[\alpha \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{3}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {\dfrac{1}{2};1} \right].\]
Khi đó ta xét hàm: \[V\left[ t \right] = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left[ {t - {t^3}} \right]\] trên \[\left[ {\dfrac{1}{2};1} \right].\]
Có: \[V'\left[ t \right] = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left[ {1 - 3{t^2}} \right] \]
\[\Rightarrow V'\left[ t \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow 1 - 3{t^2} = 0 \]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\left[ {tm} \right]\\t = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\left[ {ktm} \right]\end{array} \right..\]
Ta có bảng biến thiên:
\[ \Rightarrow \] Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi \[t = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \] \[\Leftrightarrow \alpha = \arccos \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\].
Vậy thể tích khối