Đề bài
Xác định \[a, b, c\], biết parabol \[y = ax^2+ bx + c\] đi qua điểm \[A[8; 0]\] và có đỉnh \[I[6; - 12]\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tọa độ đỉnh của parabol: \[y = ax^2+ bx + c\] là: \[I\left[ { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right]\]
Lời giải chi tiết
Parabol đi qua điểm\[A[8; 0]\] nên ta có:
\[a.8^2+b.8+c=0\] \[\Leftrightarrow 64a + 8b + c = 0\] [1]
Parabolcó đỉnh \[I[6; - 12]\] nên ta có:
\[ - \frac{b}{{2a}} = 6 \] [2] và \[ - \frac{\Delta }{{4a}} = - 12 \][3]
Mà: \[[2] \Leftrightarrow - b = 6.2a \Leftrightarrow - b = 12a \Leftrightarrow 12a + b = 0 \Rightarrow b = - 12a \] [2*]
và \[[3] \Leftrightarrow\ \Delta = 12.4a \Leftrightarrow {b^2} - 4ac = 48a \] [3*]
Thay [2*] vào [3*] \[144{a^2} -4ac = 48a \Leftrightarrow 144{a^2} - 48a = 4ac \Leftrightarrow c = \dfrac{{144{a^2} - 48a}}{{4a}} = 36a - 12\,\,\left[ 4 \right]\]
Thay [2*] và [4] vào [1] ta được:
\[\begin{array}{l}
64a + 8.\left[ { - 12a} \right] + 36a - 12 = 0\\
\Leftrightarrow 64a - 96a + 36a - 12 = 0\\\Leftrightarrow 4a - 12 = 0
\Leftrightarrow a = 3
\end{array}\]
Dễ dàng suy ra \[b = -36\] ; \[c= 96\]
Phương trình parabol cần tìm là: \[y = 3x^2- 36x + 96\].
Cách khác:
Parabol đi qua điểm\[A[8; 0]\] nên tọa độ điểm \[A\] là nghiệm đúng phương trình của parabol ta có:
\[a.8^2+b.8+c=0\] \[\Leftrightarrow 64a + 8b + c = 0\] [1]
Parabolcó đỉnh \[I[6; - 12]\] nên ta có:
\[ - \frac{b}{{2a}} = 6 \Leftrightarrow - b = 12a\]
\[ \Leftrightarrow 12a + b = 0\] [2]
Mà parabol có đỉnh \[I[6;-12]\] nghĩa là đi qua điểm \[I[6;-12]\]
Do đó \[a{.6^2} + b.6 + c = - 12\] \[ \Leftrightarrow 36a + 6b + c = - 12\left[ 3 \right]\]
Từ [1] [2] và [3] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}64a + 8b + c = 0\\12a + b = 0\\36a + 6b + c = - 12\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 36\\c = 96\end{array} \right.\]
Vậy phương trình parabol cần tìm là \[y = 3{x^2} - 36x + 96\].