Đề bài - bài 49 trang 11 sbt hình học 12 nâng cao

Đề bài

Cho khối lập phươngABCD.ABCDcó cạnh bằnga. GọiKlà trung điểm củaDD. Tính khoảng cách giữaCKvàAD.

Lời giải chi tiết

GọiMlà trung điểm củaBB.

Ta có \(A'M//KC\) nên

\(\eqalign{ & d\left( {CK,A'D} \right) = d\left( {CK,\left( {A'MD} \right)} \right) \cr & = d\left( {K,\left( {A'MD} \right)} \right). \cr} \)

Đặt \(d\left( {CK,A'D} \right) = x.\) Ta có

\({V_{A'.MDK}} = {V_{K.A'MD}} = {1 \over 3}{S_{A'MD}}.x\;\;\;(1)\)

Mặt khác

\({V_{A'.MDK}} = {V_{M.A'DK}}\)

\( = {1 \over 3}{S_{A'DK}}.d\left( {M,\left( {A'DK} \right)} \right)\)

\(= {1 \over 3}\left( {{1 \over 2}a.{1 \over 2}a} \right).a = {{{a^3}} \over {12}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra : \({S_{A'MD}}.x = {{{a^3}} \over 4}.\)

Hạ

\(\eqalign{ & DI \bot A'M \Rightarrow AI \bot A'M \cr & \Rightarrow AI.A'M = AA'.d\left( {M,AA'} \right) = {a^2} \cr&\Rightarrow AI = {{2a} \over {\sqrt 5 }} \cr & \Rightarrow D{I^2} = D{A^2} + A{I^2} = {a^2} + {{4{a^2}} \over 5} = {{9{a^2}} \over 5}\cr& \Rightarrow DI = {{3a} \over {\sqrt 5 }}. \cr} \)

Vậy \({S_{A'MD}} = {1 \over 2}DI.A'M = {1 \over 2}.{{3a} \over {\sqrt 5 }}.{{a\sqrt 5 } \over 2} = {{3{a^2}} \over 4}.\)

Từ (3) và (4) suy ra \(x = {a \over 3}.\)