Đề bài
a] Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 3 không ?
b] Chứng tỏ rằng tích hai số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 2.
c] Chứng tỏ rằng mọi số tự nhiên có ba chữ số giống nhau đều là bội của 37.
d] Chứng tỏ rằng tổng \[\overline {ab} + \overline {ba} \] chia hết cho 11.
Lời giải chi tiết
a] Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: \[n; n + 1; n + 2 [n \in N\]]
Ta có: n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3
3n 3, 3 3 \[\Rightarrow\] [3n + 3] 3
Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
b] Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là n; n + 1 \[[n \in N\]]
Nếu n = 2k [\[k \in N\]] thì n 2 do đó \[n[n + 1] 2\]
Nếu n = 2k + 1 [\[k \in N\]] thì \[n + 1 = [2k + 2] 2\] do đó n[n + 1] 2
Ta có n[n + 1] 2. Vậy tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2
c] Gọi số tự nhiên có ba chữ số giống nhau là \[\overline {aaa} [a \in N^*]\]
\[\overline {aaa} = 111.a\] mà 111 37 nên [111.a] 37. Do đó: \[\overline {aaa} \vdots 37\]
d] \[\overline {ab} + \overline {ba} = 10a + b + 10b + a = [11a + 11b] \;\vdots\; 11\]
Vì [11a] 11 và [11b] 11 nên \[[11a + 11b] 11.\] Do đó: \[[\overline {ab} + \overline {ba} ]\; \vdots\; 11\]