Đề bài
Tam giác\[\displaystyleABC\]có đường trung tuyến\[\displaystyleAM\]bằng nửa cạnh\[\displaystyleBC.\]Chứng minh rằng\[\displaystyle\widehat {BAC} = 90^\circ \].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+] Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau
+] Tổng ba góc trong tam giác bằng \[180^0\]
Lời giải chi tiết
Ta có\[\displaystyleAM\]là đường trung tuyến của\[\displaystyleABC\] nên\[\displaystyleM\] là trung điểm của\[\displaystyleBC\]
\[\displaystyle\Rightarrow BM = MC = {1 \over 2}BC\]
Mà\[\displaystyleAM = {1 \over 2}BC\left[ {gt} \right]\]
Suy ra:\[\displaystyleAM = BM = MC\]
Vì\[\displaystyleAMB\] có\[\displaystyleAM = MB\]nên\[\displaystyleAMB\]cân tại\[\displaystyleM.\]
\[\displaystyle\Rightarrow \widehat B = \widehat {{A_1}}\][tính chất tam giác cân] [1]
Vì\[\displaystyleAMC\]có\[\displaystyleAM = MC\]nên\[\displaystyleAMC\]cân tại\[\displaystyleM.\]
\[\displaystyle\Rightarrow \widehat C = \widehat {{A_2}}\][tính chất tam giác cân] [2]
Từ [1] và [2] suy ra:\[\displaystyle\widehat B + \widehat C = \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {BAC}\] [3]
Trong\[\displaystyleABC\]ta có:
\[\displaystyle\widehat B + \widehat C + \widehat {BAC} = 180^\circ \][tổng ba góc trong tam giác] [4]
Từ [3] và [4] suy ra:\[\displaystyle\widehat {BAC} + \widehat {BAC} = 180^\circ \]
\[\displaystyle\Rightarrow 2\widehat {BAC} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ \]
Vậy\[\displaystyleABC\]vuông tại\[\displaystyleA.\]