Đề bài
Cho hình bình hành \[ABCD ,\] các đường chéo cắt nhau tại \[O.\] Gọi \[E, F\] theo thứ tự là trung điểm của \[OD, OB.\] Gọi \[K\] là giao điểm của \[AE\] và \[CD.\] Chứng minh rằng:
\[a]\] \[AE\] song song \[CF\]
\[b]\] \[DK =\displaystyle {1 \over 2}KC\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+] Tứ giác có haiđường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
+] Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Lời giải chi tiết
\[a]\] Vì ABCD là hình bình hành nên \[OB = OD\] [tính chất hình bình hành]
\[OE = \displaystyle{1 \over 2}OD\;\; \] [vì E là trung điểm của OD]
\[OF =\displaystyle {1 \over 2}OB\;\;\][vì F là trung điểm của OB]
Suy ra: \[OE = OF\]
Xét tứ giác \[AECF,\] ta có:
\[OE = OF\] [chứng minh trên]
\[OA = OC\] [vì \[ABCD\] là hình bình hành]
Suy ra: Tứ giác \[AECF\] là hình bình hành [vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ]
\[AE // CF\]
\[b]\] Kẻ \[OM // AK\]
Trong \[CAK\] ta có:
\[OA = OC\] [ chứng minh trên]
\[OM // AK\] [ theo cách vẽ]
\[ CM = MK\] [tính chất đường trung bình của tam giác] \[[1]\]
Trong \[DMO\] ta có:
\[DE = EO \;\;\][vì E là trung điểm của OD]
\[EK // OM\] [do\[OM // AK\]]
\[DK = KM\] [tính chất đường trung bình của tam giác] \[[2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra: \[DK = KM = MC\]
\[DK = \displaystyle{1 \over 2}KC\]