\[\begin{array}{l}A = \dfrac{{ - x + y + {\rm{z}}}}{2} + \dfrac{{{\rm{x}} - y + {\rm{z}}}}{2} + \dfrac{{{\rm{x}} + y - z}}{2}\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{\rm{x}}}{y} + \dfrac{y}{x} + \dfrac{{\rm{x}}}{z} + \dfrac{{\rm{z}}}{x} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{{\rm{z}}}{y} - 3} \right]\\ \ge \dfrac{1}{2}.\left[ {2.3 - 3} \right] = \dfrac{3}{2}.\end{array}\]
Đề bài
Cho a, b, c là ba số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của
\[A = \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}.\]
Lời giải chi tiết
Đặt \[b + c = x,c + a = y;a + b = z.\] Do \[a, b, c\] dương nên \[x, y, z\] dương và
\[a = \dfrac{{ - x + y + {\rm{z}}}}{2};b = \dfrac{{{\rm{x}} - y + {\rm{z}}}}{2};c = \dfrac{{{\rm{x}} + y - z}}{2}.\] Khi đó ta có
\[\begin{array}{l}A = \dfrac{{ - x + y + {\rm{z}}}}{2} + \dfrac{{{\rm{x}} - y + {\rm{z}}}}{2} + \dfrac{{{\rm{x}} + y - z}}{2}\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{\rm{x}}}{y} + \dfrac{y}{x} + \dfrac{{\rm{x}}}{z} + \dfrac{{\rm{z}}}{x} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{{\rm{z}}}{y} - 3} \right]\\ \ge \dfrac{1}{2}.\left[ {2.3 - 3} \right] = \dfrac{3}{2}.\end{array}\]
Học sinh tự giảitiếp.