Đề bài
Cho tam giác ABC, lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, N, I, K lần lượt là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng: \[IK \bot MN.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi
Lời giải chi tiết
Ta có M là trung điểm của BE
I là trung điểm của DE
\[ \Rightarrow MI\] là đường trung bình của \[\Delta BDE\]
\[ \Rightarrow MI//BD\] và \[MI = \dfrac{1}{2}BD\]
Lại có NK là đường trung bình của tam giác CBD [do N là trung điểm CD và K là trung điểm BC] nên \[NK//BD\] và \[NK = \dfrac{1}{2}BD\]
Do đó \[MI//NK\] nên tứ giác MINK là hình bình hành [1]
Ta có IN là đường trung bình của \[\Delta CDE\] [do I là trung điểm DE và N là trung điểm DC]
\[ \Rightarrow IN = \dfrac{1 }{ 2}CE\] mà CE = BD [gt] \[ \Rightarrow IN = IM\] [2]
Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow \] Tứ giác MINK là hình thoi [hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau]