Đề bài
Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy các điểm I, J, K, L sao cho AI = BJ = CK = DL. Chứng minh rằng:
a] Tứ giác IJKL là hình bình hành.
b] Bốn đường thẳng AC, BD, IK, JK đồng quy.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
Tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành
Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành
Hai đường chéo của hình bình hành giao nhau tại trung điểm mỗi đường
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[\Delta IBJ = \Delta KDL[c.g.c]\] và \[\Delta JCK = \Delta LAI\]
\[ \Rightarrow {\rm{IJ}} = KL\] và JK = IL.
Vậy tứ giác IJKL là hình bình hành [các cạnh đối bằng nhau].
b] Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD ta có O là trung điểm của AC. Lại có tứ giác AICK là hình bình hành \[[AI//CK\] và \[AI = CK] \Rightarrow \] đường chéo IK đi qua trung điểm O của AC, tứ giác IJKL là hình bình hành [cmt] \[ \Rightarrow \] đường chéo JL đi qua trung điểm O của đường chéo IK. Vậy bốn đường thẳng AC, BD, IK, JL đồng quy.