Đề bài
Cho hình thang ABCD \[\left[ {AB// CD} \right]\] . Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của BD, AC, DC. Gọi H là giao điểm của đường thẳng qua E vuông góc với AD và đường thẳng qua F vuông góc với BC. Chứng minh rằng:
a] H là trực tâm của \[\Delta EFK.\]
b] \[\Delta HCD\] cân.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Định nghĩa:Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
- Định lí :Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
- Trực tâm của tam giác là giao ba đường cao của tam giác đó.
Lời giải chi tiết
a] Ta có E, K lần lượt là trung điểm của BD và CD nên EK là đường trung bình của \[\Delta BCD\]
\[ \Rightarrow EK//BC\] mà \[HF \bot BC[gt]\]
\[ \Rightarrow HF \bot EK.\]
Ta có F, K lần lượt là trung điểm của AC và CD nên FK là đường trung bình của \[\Delta ACD\]
\[ \Rightarrow FK//AD\] mà \[EH \bot AD[gt]\]
\[ \Rightarrow EH \bot FK.\]
Xét tam giác EFK có hai đường cao EH và FH cắt nhau tại H
Do đó H là trực tâm của \[\Delta EFK.\]
b] Gọi I là trung điểm của AD, ta có IE là đường trung bình của \[\Delta ABD\]
\[ \Rightarrow IE// AB// CD\] [1]
Và IF là đường trung bình của \[\Delta ACD \Rightarrow IF// DC\] [2]
Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow \] IE và IF phải trùng nhau [tiên đề Ơ clit] hay ba điểm I, E, F thẳng hàng.
Hay \[EF// DC\] mà \[KH \bot EF\] [H là trực tâm \[\Delta EFK\] ]\[ \Rightarrow KH \bot DC.\]
Vì vậy xét \[\Delta DHC\] có đường trung tuyến HK đồng thời là đường cao nên \[\Delta DHC\] cân tại H.