- Đề bài
- LG bài 1
- LG bài 2
Đề bài
Bài 1.Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD, I là trung điểm của cạnh AB, J là trung điểm của DC.
a] Chứng tỏ AJ = CI.
b] Chứng tỏ O là trung điểm của đoạn IJ.
Bài 2.Cho hình thoi ABCD có hai dường chéo cắt nhau tại O. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BA. Nối ED cắt AC tại I và BC ở F.
a] Chứng minh ID = 2IF.
b] Nối EO cắt BC ở G, đường thẳng OF cắt EC ở H. Chứng minh ba điểm A, G, H thẳng hàng.
c] Biết \[\widehat {BAD} = {60^ \circ },AB = a.\] Tính diện tích hình thoi ABCD theo a.
LG bài 1
Phương pháp giải:
Sử dụng:
Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành
Lời giải chi tiết:
a] I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD
\[ \Rightarrow AI\parallel CJ\] và AI = CJ.
Do đó tứ giác AICJ là hình bình hành
\[ \Rightarrow {\rm{AJ}} = CI.\]
b] O là giao điểm hai đường chéo AC và BD nên O là trung điểm của AC. AICJ là hình bình hành [cmt]. Do đó đường chéo thứ hai IJ phải qua O hay O là trung điểm của IJ.
LG bài 2
Phương pháp giải:
Sử dụng:
Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành
Định lý Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương các cạnh góc vuông
Lời giải chi tiết:
a] Ta có BE = BA [gt] mà \[BA\parallel CD\] và BA = CD [gt]
\[ \Rightarrow BE\parallel CD\] và \[BE = CD.\]
Do đó BECD là hình bình hành nên F là trung điểm của BC.
Xét \[\Delta BDC\] có I là trọng tâm \[ \Rightarrow ID = 2IF.\]
b] Ta có OF là đường trung bình của \[\Delta BDC \Rightarrow OF\parallel DC\]
Mà \[DC\parallel AB\] nên \[OF\parallel AE.\]
Vì O là trung điểm của AC nên H là trung điểm của EC hay AH là trung tuyến của \[\Delta AEC\]. Mà AH cắt EO tại G nên G là trọng tâm \[\Delta AEC \Rightarrow A,G,H\] thẳng hàng.
c] \[\Delta ABD\] cân [AB = AD [gt] có\[\widehat {BAD} = {60^ \circ }\] nên \[\Delta ABD\] đều.
Kẻ \[BJ \bot AD\] ta có: \[JA = JD = {{AD} \over 2} = {a \over 2}\]
\[ \Rightarrow BJ = \sqrt {A{B^2} - A{J^2}} \]\[\;= \sqrt {{a^2} - {{\left[ {{a \over 2}} \right]}^2}} = \sqrt {{{3{a^2}} \over 4}} = {{a\sqrt 3 } \over 2}.\]
Vậy \[{S_{ABCD}} = AD.BJ = a.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}.\]