- Bài 6.1
- Bài 6.2
- Bài 6.3
- Bài 6.4
Bài 6.1
Cho tam giác \[ABC.\]Trên tia phân giác của góc \[B,\]lấy điểm \[O\]nằm trong tam giác \[ABC\]sao cho \[O\]cách đều hai cạnh \[AB, AC.\] Khẳng định nào sau đây sai?
[A] Điểm \[O\] nằm trên tia phân giác của góc \[A.\]
[B] Điểm \[O\] không nằm trên tia phân giác của góc \[C.\]
[C] Điểm \[O\] cách đều \[AB, BC.\]
[D] Điểm \[O\] cách đều \[AB, AC, BC.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
+] Điểm cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
+] Ba đường phân giác trong tam giác cắt nhau tại một điểm.
Lời giải chi tiết:
Điểm \[O\] cách đều \[AB, AC\] nên \[O\] thuộc tia phân giác của góc \[A.\] Mặt khác, \[O\] thuộc tia phân giác của góc \[B\] nên \[O\] là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác \[ABC.\]
Vậy [B] sai còn [A], [C], [D] đúng.
Chọn B.
Bài 6.2
Cho tam giác \[ABC\] có \[\widehat A = \widehat B + \widehat C\]. Hai đường phân giác của góc \[A\] và góc \[C\] cắt nhau tại \[O.\] Khi đó góc \[BOC\] bằng:
[A] \[85°;\] [B] \[90° ;\]
[C] \[135° ;\] [D] \[150°.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
+] Ba đường phân giác của tam giác cắt nhau tại một điểm
+] Tổng ba góc trong tam giác bằng \[180^0\]
Lời giải chi tiết:
Tam giác \[ABC\]có\[\widehat A + \widehat B + \widehat C=180^0\] [tổng ba góc trong tam giác] mà\[\widehat A = \widehat B + \widehat C\] nên ta có\[\widehat A = \widehat B + \widehat C=\dfrac{180^0}{2}=90^0.\]
Lại có \[ AO, CO\]lần lượt là tia phân giác của \[\widehat A\]và \[\widehat C\]nên \[BO\]là tia phân giác của \[\widehat B\].
Khi đó:\[\displaystyle \widehat {OBC} = {1 \over 2} \widehat B,\]\[\displaystyle \widehat {OCB} = {1 \over 2} \widehat C\]
Ta có \[\displaystyle \widehat {OBC} + \widehat {OCB} = {1 \over 2}\left[ {\widehat B + \widehat C} \right] \]\[= \dfrac {90^0}{2}=45^\circ \]
Xét tam giác \[BOC\] có:\[\widehat {BOC}+\widehat {OBC} + \widehat {OCB}=180^0\] [tổng ba góc trong tam giác] nên \[\widehat {BOC} =180^0-[\widehat {OBC} + \widehat {OCB}]\]\[= 180^o-45^o=135^\circ \]
Chọn [C].
Bài 6.3
Cho tam giác \[ABC.\] Gọi \[I\] là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Qua \[I\] kẻ đường thẳng song song với \[BC\] cắt \[AB, AC\] lần lượt tại \[E\] và \[F.\] Chứng minh rằng \[EF = BE + CF.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
+] Ba đường phân giác của tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác
+] Sử dụng tính chất tam giác cân, tính chất hai đường thẳng song song.
Lời giải chi tiết:
Vì điểm \[I\] cách đều ba cạnh của tam giác \[ABC\] và nằm trong tam giác nên \[I\] là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác \[ABC,\] tức là \[BI, CI\] lần lượt là tia phân giác của góc \[B\] và góc \[C.\]
Do đó \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\]
Do \[EF // BC\] nên \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{I_1}}\] [so le trong], suy ra \[\widehat {{I_1}} = \widehat {{B_2}}\]
Vậy tam giác \[EBI\] cân tại \[E,\] tức là \[EI = EB.\]
Lại có \[\widehat {{ICB}} = \widehat {{ICF}}\] [vì CI là tia phân giác góc ACB]
Do \[EF // BC\] nên \[\widehat {{FIC}} = \widehat {{ICB}}\] [so le trong], suy ra \[\widehat {{FIC}} = \widehat {{ICF}}\].
Vậy tam giác \[FCI\] cân tại \[F,\] tức là\[FI = FC.\]
Vậy \[EF = EI + IF = BE + CF.\]
Bài 6.4
Hai đường phân giác \[{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\]và \[B{B_1}\]của tam giác \[ABC\] cắt nhau tại \[M.\] Hãy tìm các góc \[ACM, BCM\] nếu
\[{\rm{a}}]\widehat {AMB} = 136^\circ \]
\[b]\widehat {AMB = }111^\circ \]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
+] Ba đường phân giác của tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác
+] Tổng ba góc trong tam giác bằng \[180^0\]
Lời giải chi tiết:
Do ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm nên \[CM\] là tia phân giác của góc \[C.\]
Xét tam giác \[ABC\] có:\[\widehat A + \widehat B +\widehat C=180^0\] [tổng ba góc trong tam giác] nên\[\widehat C=180^0-[\widehat A + \widehat B ] \]
a] Xét tam giác \[MAB\], theo định lý về tổng ba góc trong tam giác, ta có: \[\widehat {MAB} + \widehat {MBA} + \widehat {AMB}=180^0\] nên \[\widehat {MAB} + \widehat {MBA} =180^0-\widehat {AMB}\]\[ = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ \]
Vì AM và BM lần lượt là phân giác của góc A và góc B nên \[\widehat {MAB} =\dfrac{1}{2}\widehat A,\]\[\widehat {MBA} =\dfrac{1}{2}\widehat B\]
Xét tam giác \[ABC\] có:
\[\displaystyle {1 \over 2}\left[ {\widehat A + \widehat B} \right] = \widehat {MAB} + \widehat {MBA} \]\[ = 44^\circ \]
Suy ra \[\widehat A + \widehat B = 2.44^\circ = 88^\circ \]
Nên \[\widehat C=180^0-[\widehat A + \widehat B ] \]\[=180^\circ - 88^\circ = 92^\circ \]
Vậy \[\widehat {ACM} = \widehat {BCM} = 92^\circ :2^\circ = 46^\circ \]
b] Xét tam giác \[MAB\], theo định lý về tổng ba góc trong tam giác, ta có: \[\widehat {MAB} + \widehat {MBA} + \widehat {AMB}=180^0\] nên \[\widehat {MAB} + \widehat {MBA} =180^0-\widehat {AMB}\]\[ = 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ \]
Vì AM và BM lần lượt là phân giác của góc A và góc B nên \[\widehat {MAB} =\dfrac{1}{2}\widehat A,\]\[\widehat {MBA} =\dfrac{1}{2}\widehat B\]
Xét tam giác \[ABC\] có:
\[\displaystyle {1 \over 2}\left[ {\widehat A + \widehat B} \right] = \widehat {MAB} + \widehat {MBA} \]\[ = 69^\circ \]. Suy ra \[\widehat A + \widehat B \]\[= 2.69^0=138^\circ \]
Suy ra \[\widehat C =180^0-[\widehat A + \widehat B ] \]\[= 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ .\]
Vậy \[\widehat {ACM} = \widehat {BCM} \]\[= 42^0:2=21^\circ .\]